Determinare autovalori ed autospazi

[lukka30]

Buongiorno a tutti è la prima volta che scrivo in questo forum e spero di non sbagliare sezione ne quant'altro. Ho un problema di algebra e geometria.
Sia f l'endomorfismo tale che f(x,y,z)=(2x+z, -x+y-z, z)
Calcolare autovalori ed autospazi di f e dire se f è diagonalizzabile e perchè?!?!?!?!?!
I miei problemi sono nel capire qual'è la molteplicità algebrica e geometrica e come faccio a capire qual'è la dimensione dell'autospazio.
Help me please

[Emar1]

La molteplicità algebrica è la molteplicità che ha la radice del polinomio caratteristico.
Se per esempio hai questo polinomio:
\[P(\lambda) = (\lambda - 3)^a(\lambda-1)^b\]
$a$ è la molteplicità della radice $3$ e $b$ quella della radice $1$. $a$ e $b$ saranno quindi le molteplicità algebriche degli autovalori $3$ e $1$.

La molteplicità geometrica invece coincide con la dimensione dell'autospazio relativo all'autovalore. Per trovare la dimensione dell'autospazio $V_{\lambda_i}$ devi risolvere il sistema:\[(A-\lambda_{i}I)\mathbf{x} = \mathbf{0}\]

[lukka30]

e quindi se ho v=[1 0 0] riferito a lambda1 e v=[1 -1 0] riferito a lambda2 quali saranno le loro dimensioni?!

Grazie mille in anticipo per la risposta, è stato chiarissimo ed esaustivo!

[lukka30]

Help me....!

[Emar1]

Trattandosi di un solo vettore per ogni autovalore, la dimensione di entrambi gli autospazi è $1$.

[lukka30]

Grazie milleeeeeee!