Determinare autovalori e autovettori di FA
Sia \( \displaystyle {A}={\left(\matrix{{1}&{2}&{1}&{2}\\{0}&-{3}&{1}&{2}\\{1}&{1}&{1}&{2}\\{2}&{1}&{1}&{1}}\right)} \)
e sia appartenente all'END(R(4)) definito da
\(\displaystyle f_A(X)=(trX)A+(tr(A^2))X\) ;
determinare autovalori e autovettori di \(\displaystyle f_A \) e discutere la diagonalizzabilità.
Non vi chiedo di risolvere tutto l'esercizio ma solo di arrivare alla matrice che descrive la funzione da cui poi posso trovare autovalori e autovettori.
Io ho provato a buttarmi a fare calcoli su calcoli prendendo una matrice X generica formata da ( x,y,z,t ecc.) ma alla fine mi trovo una matrice 4x4 (dopo mille calcoli) in funzione di questi z,y,z,t ecc; dopo di che ho pensato di utilizzare le basi canoniche per arrivare finalmente alla rappresentazione matriciale di f, ma se non mi sbaglio mi verrebbe fuori una matrice immensa. Penso di aver sbagliato qualcosa.
Grazie mille
e sia appartenente all'END(R(4)) definito da
\(\displaystyle f_A(X)=(trX)A+(tr(A^2))X\) ;
determinare autovalori e autovettori di \(\displaystyle f_A \) e discutere la diagonalizzabilità.
Non vi chiedo di risolvere tutto l'esercizio ma solo di arrivare alla matrice che descrive la funzione da cui poi posso trovare autovalori e autovettori.
Io ho provato a buttarmi a fare calcoli su calcoli prendendo una matrice X generica formata da ( x,y,z,t ecc.) ma alla fine mi trovo una matrice 4x4 (dopo mille calcoli) in funzione di questi z,y,z,t ecc; dopo di che ho pensato di utilizzare le basi canoniche per arrivare finalmente alla rappresentazione matriciale di f, ma se non mi sbaglio mi verrebbe fuori una matrice immensa. Penso di aver sbagliato qualcosa.
Grazie mille
Risposte
Non si capisce bene cosa hai scritto: $f_A(-)$ e' un endomorfismo di $\mathbb{R}^4$ o di $End(\mathbb R^4)$? Credo sia il secondo caso, e allora purtroppo per te devi trattare con una matrice 16x16...
"killing_buddha":
Non si capisce bene cosa hai scritto: $f_A(-)$ e' un endomorfismo di $\mathbb{R}^4$ o di $End(\mathbb R^4)$? Credo sia il secondo caso, e allora purtroppo per te devi trattare con una matrice 16x16...
La seconda che hai detto. Purtroppo speravo di poter riuscire a risparmiarmi questa "MATRICIONA" anche perchè ci devo fare la teoria spettrale! Tutti gli esercizi del mio professore sono tutti più o meno su questa falsa riga...
cioè la funzione descritta tramite una matrice, ma non in maniera semplice bensì, come in questo caso mediante varie operazioni. Molte volte ad esempio ho una matrice A generica, e la funzione descritta da f(x)= [A,X] (parentesi di lie).
non esiste proprio un altro modo per evitare queste "SUPER MATRICI"?
Secondo me data la situazione devi risalire indirettamente alla risposta, ma sinceramente non vedo altra via che il bieco conto, per ora... $f_A(X)=tr(X)A+32 X$ non sembra semplificabile a sua volta. E un polinomio di grado sedici, se non sei molto fortunato, e' davvero intrattabile...
Dai un'occhiata alla seguente discussione: diagonalizzabilita-t87788.html Se non altro, puoi ricavarne alcuni spunti interessanti.
Se X ha traccia nulla, allora l'espressione di $f_A(X)$ si semplifica molto, divenendo semplicemente
$f_A(X) = tr(A^2)X$
di più: si trova che X è autovettore. Perciò le matrici a traccia nulla sono autovettori, relativi all'autovalore $tr(A^2)$. Ora però lo spazio delle matrici a traccia nulla, in $M_n(K)$, ha dimensione $n^2 - 1$! E' cioè un iperpiano (fai conto che l'applicazione lineare "traccia" va da $M_n(K)$ in $K$, che ha dimensione 1!). Quindi nel nostro caso c'è un autospazio che ha dimensione almeno 15. Un'altra valutazione "notevole" di $f_A$ è quella in $A$, ovviamente. Questa dà:
$f_A(A) = tr(A)A + tr(A^2)A = (tr(A) + tr(A^2))A$
perciò anche A è autovettore, ma tr(A) è diverso da 0, quindi non appartiene all'iperpiano delle matrici a traccia nulla. Ne segue che se a una qualsiasi base dell'iperpiano ${X | tr(X) = 0}$ aggiungiamo $A$ otteniamo una base di autovettori.
Quindi A è diagonalizzabile e ha come autosistema il seguente:
${X | tr(X) = 0}$ autospazio relativo all'autovalore $tr(A^2)$
$$ autospazio relativo all'autovalore $tr(A)$
$f_A(X) = tr(A^2)X$
di più: si trova che X è autovettore. Perciò le matrici a traccia nulla sono autovettori, relativi all'autovalore $tr(A^2)$. Ora però lo spazio delle matrici a traccia nulla, in $M_n(K)$, ha dimensione $n^2 - 1$! E' cioè un iperpiano (fai conto che l'applicazione lineare "traccia" va da $M_n(K)$ in $K$, che ha dimensione 1!). Quindi nel nostro caso c'è un autospazio che ha dimensione almeno 15. Un'altra valutazione "notevole" di $f_A$ è quella in $A$, ovviamente. Questa dà:
$f_A(A) = tr(A)A + tr(A^2)A = (tr(A) + tr(A^2))A$
perciò anche A è autovettore, ma tr(A) è diverso da 0, quindi non appartiene all'iperpiano delle matrici a traccia nulla. Ne segue che se a una qualsiasi base dell'iperpiano ${X | tr(X) = 0}$ aggiungiamo $A$ otteniamo una base di autovettori.
Quindi A è diagonalizzabile e ha come autosistema il seguente:
${X | tr(X) = 0}$ autospazio relativo all'autovalore $tr(A^2)$
$$ autospazio relativo all'autovalore $tr(A)$
"ZeroMemory":
Quindi A è diagonalizzabile e ha come autosistema il seguente:
${X | tr(X) = 0}$ autospazio relativo all'autovalore $tr(A^2)$
$$ autospazio relativo all'autovalore $tr(A)$
Probabilmente intendevi scrivere:
$$ autospazio relativo all'autovalore $tr(A)+tr(A^2)$
Del resto:
"ZeroMemory":
Questa dà:
$f_A(A) = tr(A)A + tr(A^2)A = (tr(A) + tr(A^2))A$
In ogni modo, volevo farti i complimenti per la risoluzione.
Sì, hai ragione!! ...La solita svista, ne faccio di continuo! 
Grazie mille, Speculor!
"speculor":
In ogni modo, volevo farti i complimenti per la risoluzione.
Grazie mille, Speculor!
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