Determinare applicazione lineare invertibile

[laurelda]

Ciao a tutti! Oggi ho bisogno di un aiuto sullo svolgimento di questo esercizio:

Siano U e V i seguenti sottospazi di $RR^3$: $U={(x,y,z) : 2x+y+2z=0}$ e $V={(x,y,z) : x+3y+z=0}$.
(a) Trovare una base di U e completarla ad una base di $RR^3$
(b) Trovare una base di V e completarla ad una base di $RR^3$
(c) Determinare un'applicazione lineare invertibile $T:RR^3 \to RR^3$ tale che $f(U) sub V$.

I punti (a) e (b) sono riuscita a svolgerli, ma il (c) non so proprio come farlo. So che un'applicazione lineare è invertibile se la dimensione dell'immagine della funzione è uguale a $RR^3$, ma comunque non so come poterlo applicare dai dati che ho.
Se dovesse servire, le basi che ho trovato nei precedenti punti sono queste:
Base di U: $B_U = {(1,-2,0),(0,-2,1),(1,0,0)}$
Base di V: $B_V = {(-3,1,0),(-1,0,1),(0,1,0)}$

[Marcos871]

Allora, credo che tu intendessi che una base di $U$ e di $V$ è data dai primi due vettori che hai scritto rispettivamente in $\mathbb{B}_U$ e $\mathbb{B}_V$ mentre il terzo completa la base ad una di $RR_3$. Un'applicazione lineare invertibile è un isomorfismo tra $U$ e $V$ visti come sottospazi. Il modo più semplice di ottenerlo è assegnare come immagine dei vettori di base di $U$ i vettori di base di $V$ avendo la stessa dimensione.

[Andp]

Per essere Invertibile deve essere sia iniettiva che surriettiva.
Per questo ti deve venire che la $dim(Ker)=0$
e la $dim(Im)$ (che è anche la dimensione del rango) = $3$ , ovvero alla dimensione del Codominio.

[Marcos871]

Scusate, avevo letto male. L'applicazione costruita con le due basi che hai individuato (quelle di $RR_3$ ottenute completando quelle di $U$ e $V$) basta assegnare agli elementi di base di $U$ quelli di $V$ così ottieni 2 colonne della matrice, e assegni al terzo vettore di base un vettore che sia linearmente indipendente dalle immagini dei primi due in modo da avere un isomorfismo. Ovviamente ogni elemento di $U$ è dato da $u=au_1+bu_2$ con $u_1,u_2$ gli elementi della base. Essendo $f$ lineare risulta $f(u)=af(u_1)+bf(u_2)$. Imponendo $f(u_1)=v_1$ e $f(u_2)=v_2$ ottieni la tesi.

[laurelda]

Non sono sicura di aver capito. Inizialmente pensavo che dicessi di trovare l'applicazione lineare ponendo $f(u_1) = (v_1)$, $f(u_2)=(v_2)$, $f(u_3)=(v_3)$, ma con l'ultimo messaggio mi sono persa...

[Marcos871]

Hai capito bene. L'unica cosa che posso aggiungere è che l'unica condizione che deve essere soddisfatta dall'immagine di $u_3$ è che sia linearmente indipendente dalle immagini degli altri due vettori di base, in modo da ottenere un isomorfismo. La scelta $f(u_3)=v_3$ è una scelta particolare che rispetta le richieste, ma non è unica.

[laurelda]

Ok ho capito! Grazie mille!