Determinare aggiunto e autoaggiunto dell'endomorfismo \( L_\alpha \)
ciao a tutti! non so proprio come fare questo esercizio. mi date una mano?
Si consideri lo spazio vettoriale complesso \( V=\left\{ f \in C^\infty ([0,1], \mathbb{C}) \quad:\quad u^{(k)} (0)=u^{(k)} (1) =0\ per\ ogni\ k \right\} \) delle funzioni complesse derivabili infinite volte con derivate di ogni ordine continue in \([0,1]\) e nulle in 0 e 1, munite del prodotto hermitiano
\( (f,g)=\int^{1}_{0} \overline{f(x)}g(x) \ dx .\)
Per ogni \(\alpha \in \mathbb{C}\), si consideri l'endomorfismo \(L_{\alpha} \ : \ V \ \rightarrow \ V\) definito come \( L_{\alpha} (f)(x) =f'(x)+(1+\alpha x) f''(x) \).
(i) Si determini l'aggiunto di \( L_\alpha \).
(ii) Si stabilisca per quali valori di \(\alpha \in \mathbb{C} \) l'endomorfismo \( L_\alpha \) è auto-aggiunto.
grazie mille in anticipo!
Si consideri lo spazio vettoriale complesso \( V=\left\{ f \in C^\infty ([0,1], \mathbb{C}) \quad:\quad u^{(k)} (0)=u^{(k)} (1) =0\ per\ ogni\ k \right\} \) delle funzioni complesse derivabili infinite volte con derivate di ogni ordine continue in \([0,1]\) e nulle in 0 e 1, munite del prodotto hermitiano
\( (f,g)=\int^{1}_{0} \overline{f(x)}g(x) \ dx .\)
Per ogni \(\alpha \in \mathbb{C}\), si consideri l'endomorfismo \(L_{\alpha} \ : \ V \ \rightarrow \ V\) definito come \( L_{\alpha} (f)(x) =f'(x)+(1+\alpha x) f''(x) \).
(i) Si determini l'aggiunto di \( L_\alpha \).
(ii) Si stabilisca per quali valori di \(\alpha \in \mathbb{C} \) l'endomorfismo \( L_\alpha \) è auto-aggiunto.
grazie mille in anticipo!
Risposte
Io inizierei ad applicare la definizione di operatore (lineare) aggiunto, rispetto al prodotto scalare dato!
"j18eos":
Io inizierei ad applicare la definizione di operatore (lineare) aggiunto, rispetto al prodotto scalare dato!
Ok, mi faresti vedere gentilmente come di fa? Perché ho visto la definizione di op. Aggiunto ma non so come muovermi! Grazie....
Non vorrei essere scostumato, ma non posso assecondare la tua gentile richiesta, in quanto l'applicazione di una definizione è di una banalità che quasi rasenta il ridicolo.
"j18eos":
Non vorrei essere scostumato, ma non posso assecondare la tua gentile richiesta, in quanto l'applicazione di una definizione è di una banalità che quasi rasenta il ridicolo.
Non credo che cadresti nel ridicolo a dare un input ragionato ; io ad esempio lo apprezzerei molto
dato che mi incuriosisce ma non ho dimestichezza con l'argomento.
"j18eos":
Non vorrei essere scostumato, ma non posso assecondare la tua gentile richiesta, in quanto l'applicazione di una definizione è di una banalità che quasi rasenta il ridicolo.
ahahahah! il tuo finto perbenismo è davvero patetico.
senti, ma anzichè perdere tempo a rispondere con banalità del tipo "studiati la teoria prima di fare gli esercizi" non pensi che sia più proficuo per te spiegare bene l'esercizio come si fa con passaggi, cenni teorici e risultati per poi poter dire alla fine della tua giornata ho VERAMENTE aiutato qualcuno a capire l'algebra lineare! non ti sentiresti una persona migliore? avresti fatto del bene per puro altruismo.
Cosa ottieni a lasciare commenti simili? io mi sentirei vuoto e di una pochezza infinita perchè alla fine non avrei nè aiutato gli altri nè tanto meno me stesso, oltre a sentirmi uno stupido ed un ingenuo. e ora ti spiego il perchè. è palese agli occhi di tutti che non sono per niente bravo in matematica persino anche ai miei occhi. quindi secondo te io perderei il mio tempo a strascrivere un esercizio in latex su un forum per leggere commenti del tipo: "non sai il teorema torna sui libri" ? se io avessi davvero compreso il dato teorema non perderei il mio tempo dietro a questi siti. quindi, e arrivo al sodo, io sono qui in cerca di aiuto non di commenti come i tuoi.
quindi il mio invito è di cercare di aiutarmi a capire queste cose che per te saranno anche banalità ma per me sono un grande scoglio.
se devi rispondere in puro stile dei tuoi commenti precedenti ti esorto a non farlo.
Ragazzi calma , non vorrete mica scatenare un flame per operatori aggiunti e autoaggiunti ?
"Camillo":
Ragazzi calma , non vorrete mica scatenare un flame per operatori aggiunti e autoaggiunti ?
ahahahhahah! ma sono calmissimo.. solo che non mi piacciono le prese per il culo
"leomagicabula":Esortazione accolta.
...se devi rispondere in puro stile dei tuoi commenti precedenti ti esorto a non farlo.
Nessuno vuole dare un contributo alla soluzione di questo esercizio ?
En passant: si deve determinare l'operatore lineare \(\displaystyle L_{\alpha}^{*}\) (continuo?, non ricordo!) tale che:
\[
\forall f,g\in V,\,\int_0^1\overline{L_{\alpha}f(x)}g(x)dx=(L_{\alpha}f,g)=(f,L_{\alpha}^{*}g)=\int_0^1\overline{f(x)}L_{\alpha}^{*}g(x)dx
\]
il resto sono calcoli, non troppo espliciti!
\[
\forall f,g\in V,\,\int_0^1\overline{L_{\alpha}f(x)}g(x)dx=(L_{\alpha}f,g)=(f,L_{\alpha}^{*}g)=\int_0^1\overline{f(x)}L_{\alpha}^{*}g(x)dx
\]
il resto sono calcoli, non troppo espliciti!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo