Determinara l'immagine di una trasformazione lineare!

[Federichina1]

Ciao a tutti! Sto svolgendo un esercizio di algebra e mi viene chiesto di determinare l'immagine e il ker di due trasformazioni lineari!
$\alpha$ : $[[1,1,-1,0],[0,1,1,-1],[-1,0,1,1],[0,2,1,0]]$

$\beta$ : $[[1,0,-1,2],[2,1,0,-1],[-1,2,1,0],[2,3,0,1]]$

Ho scoperto che rank($\alpha$) = 3 e rank($\beta$) = 4. Quindi l'immagine di $\alpha$ deve essere composta da 3 elementi. Non riesco però a stabilire quale colonna posso mandar via!! E invece per quanto riguarda il ker, null($\alpha$) = 1 e null($\beta$) = 0 per il teorema di nullità più rango.
Come determinare il ker a questo punto? So che il ker è la retroimmagine dello zero, perciò devo porre a zero le quattro equazioni che ottengo da alfa e beta, ma non riesco a darne una rappresentazione parametrica.
Mi aiutate?Grazie!!

[vittorio.santeusanio]

Come hai ben verificato $text{dim}(\alpha)=3$ di conseguenza vuol dire che uno dei tre vettori colonna che formano la matrice deve essere combinazione lineare degli altri tre.
Di qui ci sono più metodi per verificare di quale vettore stiamo parlando:

1) Cercare di ricavare un vettore dagli altri.

2) Ridurre a scala la matrice mediante l'algoritmo di Gauss
La colonna priva di pivot è la colonna vettore che causa la dipendenza lineare. Questo accade poiché è l'unica tra le nostre colonna vettore a non avere un coefficiente in più (non nullo) rispetto al vettore colonna che lo precede, cosa che come ben saprai garantisce l'immediata indipendenza lineare( pensa, ad esempio, a $e_1$, $e_2$ e $e_3$ vettori della Base Canonica).

Per quanto concerne il $Ker$ ti conviene, prima di risolvere il sistema omogeneo, ridurlo a scala come sopra. Dopodiché non dovresti aver problemi.

Ciao