Determinanti matrice 4x3

[linixone]

Ciao a tutti, sto cercando di risolvere un problema informatico cercando di ridurre il più possibile il numero di operazioni.
Ho una matrice 4x3 in cui la terza colonna sono tutti 1. Devo calcolare i 4 sotto determinanti e trovare se il determinante max è uguale alla somma degli altri 3. Esiste un metodo per avere questo risultato solo in base alla matrice, senza effettuare tutte le moltiplicazioni?

[dissonance]

EDIT: ripensandoci non sono sicuro che questo sia corretto, vedi rosso:

Non vedo una soluzione completamente indolore, ma io comincerei con lo scrivere

\[
A= \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & 1 \\
a_{21} & a_{22} & 1 \\
a_{31} & a_{32} & 1 \\
a_{41} & a_{42} & 1 \\
\end{bmatrix}.
\]
Sottraendo la prima riga da tutte le successive si ottiene

\[
B=\begin{bmatrix} 
a_{11} & a_{12} & 1 \\
a_{21}-a_{11} & a_{22}-a_{12} & 0 \\
a_{31}-a_{11} & a_{32}-a_{12} & 0 \\
a_{41}-a_{11} & a_{42}-a_{12} & 0 \\
\end{bmatrix}.
\]
I minori di \(A\) sono uguali ai minori di \(B\) (abbiamo applicato solo una operazione elementare che non altera i determinanti). Quindi puoi ragionare su \(B\) ed è un vantaggio perché ci sono più zeri.

EDIT: Uno dei minori, quello che non contiene la prima riga, viene modificato da questa operazione (e infatti viene annullato).