Determinanti
Scusate ragazzi, spero mi possiate aiutare a comprendere questo procedimento:
$ |(A_{22}-1/(A_{11})A_{12}A_{12},,,A_{23}-1/(A_{11})A_{12}A_{13}),(A_{32}-1/(A_{11})A_{13}A_{12},,,A_{33}-1/(A_{11})A_{13}A_{13})|=$
$=1/(A_{11})|(A_{11},,0,,0),(A_{21},,A_{22}-1/(A_{11})A_{12}A_{12},,A_{23}-1/(A_{11})A_{12}A_{13}),(A_{31},,A_{32}-1/(A_{11})A_{13}A_{12},,A_{33}-1/(A_{11})A_{13}A_{13})| $
Non riesco a capire come il mio docente abbia potuto aggiungere una riga e una colonna al determinante al primo membro e avere comunque un uguaglianza. Lui mi sembra abbia detto di avere utilizzato una certa regola di Laplace
Io però, cercando su internet, non ho trovato niente del genere che potesse corrispondere
$ |(A_{22}-1/(A_{11})A_{12}A_{12},,,A_{23}-1/(A_{11})A_{12}A_{13}),(A_{32}-1/(A_{11})A_{13}A_{12},,,A_{33}-1/(A_{11})A_{13}A_{13})|=$
$=1/(A_{11})|(A_{11},,0,,0),(A_{21},,A_{22}-1/(A_{11})A_{12}A_{12},,A_{23}-1/(A_{11})A_{12}A_{13}),(A_{31},,A_{32}-1/(A_{11})A_{13}A_{12},,A_{33}-1/(A_{11})A_{13}A_{13})| $
Non riesco a capire come il mio docente abbia potuto aggiungere una riga e una colonna al determinante al primo membro e avere comunque un uguaglianza. Lui mi sembra abbia detto di avere utilizzato una certa regola di Laplace
Io però, cercando su internet, non ho trovato niente del genere che potesse corrispondere
Risposte
Sì, basta applicare lo sviluppo di Laplace alla prima riga. Si trovano informazioni su Internet e direi sui manuali standard di algebra lineare o geometria, come alle pp. 81-83 e 85-86 del Sernesi, Geometria I, 2000 Bollati Boringhieri, e pp. 223-224 dello Strang Algebra lineare, 2008 Apogeo. Tieni presente che, data la linearità nelle righe del determinante si ha che
$\det(A)=1/(A_{11})|(A_{11},,0,,0),(A_{21},,A_{22}-1/(A_{11})A_{12}A_{12},,A_{23}-1/(A_{11})A_{12}A_{13}),(A_{31},,A_{32}-1/(A_{11})A_{13}A_{12},,A_{33}-1/(A_{11})A_{13}A_{13})|$
$=|(1,,0,,0),(A_{21},,A_{22}-1/(A_{11})A_{12}A_{12},,A_{23}-1/(A_{11})A_{12}A_{13}),(A_{31},,A_{32}-1/(A_{11})A_{13}A_{12},,A_{33}-1/(A_{11})A_{13}A_{13})| $ quindi, sviluppando secondo la prima riga
$\det(A)=1*|(A_{22}-1/(A_{11})A_{12}A_{12},,A_{23}-1/(A_{11})A_{12}A_{13}),(A_{32}-1/(A_{11})A_{13}A_{12},,A_{33}-1/(A_{11})A_{13}A_{13})|$
$-0*|(A_{21},,A_{23}-1/(A_{11})A_{12}A_{13}),(A_{31},,A_{33}-1/(A_{11})A_{13}A_{13})|+0*|(A_{21},,A_{22}-1/(A_{11})A_{12}A_{12}),(A_{31},,A_{32}-1/(A_{11})A_{13}A_{12})|$
$=|(A_{22}-1/(A_{11})A_{12}A_{12},,A_{23}-1/(A_{11})A_{12}A_{13}),(A_{32}-1/(A_{11})A_{13}A_{12},,A_{33}-1/(A_{11})A_{13}A_{13})|$.
Ciao!
$\det(A)=1/(A_{11})|(A_{11},,0,,0),(A_{21},,A_{22}-1/(A_{11})A_{12}A_{12},,A_{23}-1/(A_{11})A_{12}A_{13}),(A_{31},,A_{32}-1/(A_{11})A_{13}A_{12},,A_{33}-1/(A_{11})A_{13}A_{13})|$
$=|(1,,0,,0),(A_{21},,A_{22}-1/(A_{11})A_{12}A_{12},,A_{23}-1/(A_{11})A_{12}A_{13}),(A_{31},,A_{32}-1/(A_{11})A_{13}A_{12},,A_{33}-1/(A_{11})A_{13}A_{13})| $ quindi, sviluppando secondo la prima riga
$\det(A)=1*|(A_{22}-1/(A_{11})A_{12}A_{12},,A_{23}-1/(A_{11})A_{12}A_{13}),(A_{32}-1/(A_{11})A_{13}A_{12},,A_{33}-1/(A_{11})A_{13}A_{13})|$
$-0*|(A_{21},,A_{23}-1/(A_{11})A_{12}A_{13}),(A_{31},,A_{33}-1/(A_{11})A_{13}A_{13})|+0*|(A_{21},,A_{22}-1/(A_{11})A_{12}A_{12}),(A_{31},,A_{32}-1/(A_{11})A_{13}A_{12})|$
$=|(A_{22}-1/(A_{11})A_{12}A_{12},,A_{23}-1/(A_{11})A_{12}A_{13}),(A_{32}-1/(A_{11})A_{13}A_{12},,A_{33}-1/(A_{11})A_{13}A_{13})|$.
Ciao!
Ma quanto sono fesso?! E io che andavo cercando cose astruse...
Grazie mille per le risposte. Siete stati gentilissimi
Grazie mille per le risposte. Siete stati gentilissimi
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