Determinante, rango, nucleo, immagine e diagonalizzabilità
Ciao a tutti,
sto provando a fare degli esercizi per l'esame di algebra lineare che ho lunedi, e non ho modo di farli vedere al professore, mi potete aiutare dicendomi se sono stati fatti in maniera corretta o no?
Grazie mille
La matrice è questa
$A_t=((1-t,0,t+1,0),(0,1,0,1),(t+1,0,1-t,0),(0,1,0,1))$.
- Il determinate mi viene $2t+2$, quindi per $t!=-1$ il determinante è $!=0$, mentre per $t=-1$ il determinante è $=0$.
- Rango, scrivo i passaggi.
riduco a scalini la matrici e viene $((1-t,0,t+1,0),(0,1,0,1),(0,0,-4t,0),(0,1,0,1))$ $->$ $((1-t,0,t+1,0),(0,1,0,1),(0,0,-4t,0),(0,0,0,0))$ $->$ $((1-t,0,t+1,0),(0,1,0,1),(0,0,-4t,0))$, quindi deduco che il rango sia 3 per $t!=1$ e $t!=0$; 2 per $t!=1$ e $t=0$; 2 per $t=1$ e $t!=0$; 2 per $t=0$; 2 per $t=1$.
- Vedere se $A_1$ è diagonalizzabile.
Una matrice è diagonalizzabile se la molteplicità algebrica degli autovalori corrisponde con la molteplicità geometrica.
Trovo gli autovalori $A_1=((0,0,2,0),(0,1,0,1),(2,0,0,0),(0,1,0,1))$ che posso anche riscrivere così $A_1=((2,0,0,0),(0,1,0,1),(0,0,2,0),(0,1,0,1))$ $->$ $((2-\lambda,0,0,0),(0,1-\lambda,0,1),(0,0,2-\lambda,0),(0,0,1,1-\lambda))$, quindi gli autovalori sono $\lambda=2$ con molteplicità algebrica 2, e $\lambda=1$ con molteplicità algebrica 2. Quindi posso gia dire che non è diagonalizzabile? O devo trovarmi anche gli autovettori associati agli autovalori?
Grazie a tutti per l aiuto.
sto provando a fare degli esercizi per l'esame di algebra lineare che ho lunedi, e non ho modo di farli vedere al professore, mi potete aiutare dicendomi se sono stati fatti in maniera corretta o no?
Grazie mille
La matrice è questa
$A_t=((1-t,0,t+1,0),(0,1,0,1),(t+1,0,1-t,0),(0,1,0,1))$.
- Il determinate mi viene $2t+2$, quindi per $t!=-1$ il determinante è $!=0$, mentre per $t=-1$ il determinante è $=0$.
- Rango, scrivo i passaggi.
riduco a scalini la matrici e viene $((1-t,0,t+1,0),(0,1,0,1),(0,0,-4t,0),(0,1,0,1))$ $->$ $((1-t,0,t+1,0),(0,1,0,1),(0,0,-4t,0),(0,0,0,0))$ $->$ $((1-t,0,t+1,0),(0,1,0,1),(0,0,-4t,0))$, quindi deduco che il rango sia 3 per $t!=1$ e $t!=0$; 2 per $t!=1$ e $t=0$; 2 per $t=1$ e $t!=0$; 2 per $t=0$; 2 per $t=1$.
- Vedere se $A_1$ è diagonalizzabile.
Una matrice è diagonalizzabile se la molteplicità algebrica degli autovalori corrisponde con la molteplicità geometrica.
Trovo gli autovalori $A_1=((0,0,2,0),(0,1,0,1),(2,0,0,0),(0,1,0,1))$ che posso anche riscrivere così $A_1=((2,0,0,0),(0,1,0,1),(0,0,2,0),(0,1,0,1))$ $->$ $((2-\lambda,0,0,0),(0,1-\lambda,0,1),(0,0,2-\lambda,0),(0,0,1,1-\lambda))$, quindi gli autovalori sono $\lambda=2$ con molteplicità algebrica 2, e $\lambda=1$ con molteplicità algebrica 2. Quindi posso gia dire che non è diagonalizzabile? O devo trovarmi anche gli autovettori associati agli autovalori?
Grazie a tutti per l aiuto.
Risposte
Le matrici simmetriche sono sempre diagonalizzabili.
capito, ma oltre a quello, i passaggi sono stati fatti bene?
EDIT
mi sa di no, perche io ho detto che non era diagonalizzabile...mi potresti spiegare?
EDIT
mi sa di no, perche io ho detto che non era diagonalizzabile...mi potresti spiegare?
Hai sbagliato dall'inizio. Quella matrice ha due righe uguali, il determinante è sempre nullo.
ok...mentre per gli altri punti dell esercizio?
La riduzione a scala che hai fatto è completamente inutile. Puoi subito eliminare una delle due righe uguali e procedere con la discussione. Ovviamente, il rango sarà sempre minore di quattro.
infatti il rango mi viene o 3 o 2, quindi va bene.
Il determinante va bene?
Il determinante va bene?
Mi risulta $[r=3]$ per $[t!=0]$, $[r=2]$ per $[t=0]$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo