Determinante matrici con Laplace
ciao a tutti!!
ho delle difficoltà a trovare il determinante con lo sviluppo di laplace......in particolare non ho capito i fattori di segno..... vi prego di aiutarmi!!
grazie
ho delle difficoltà a trovare il determinante con lo sviluppo di laplace......in particolare non ho capito i fattori di segno..... vi prego di aiutarmi!!
grazie
Risposte
hai la regola?
cosa di preciso non è chairo.
I fattori di segno, come dici tu, dovrebbero essere legati al $(-1)^(a+b)$ dove a e b sono le posizioni in colonna e riga; non ti è ben chiaro cosa sono a e b?
cosa di preciso non è chairo.
I fattori di segno, come dici tu, dovrebbero essere legati al $(-1)^(a+b)$ dove a e b sono le posizioni in colonna e riga; non ti è ben chiaro cosa sono a e b?
si feliciano..........per piacere dimmi anche la regola.....ho molta confusione
il teorema di laplace dice sostanzialmente che puoi scegliere una linea (colonna o riga) a piacere della tua matrice (preferibilmente una composta da tanti zeri) e per ciascun elemento $a_{ij}$ di questa linea fai il seguente lavoro: moltiplichi $a_{ij}$ per $(-1)^{i+j}$ per il determinante della sottomatrice che ottieni eliminando la riga $i$ e la colonna $j$; il determinante della matrice iniziale non è altro che la somma di tutti questi risultati parziali.
mi puoi fare un esempio gentilmente????
io ho fatto questa per trovare gli autovalori.........è corretta????
$((2,0,0,0),(3,0,0,0),(0,0,2,0),(0,-5,0,3))$
con laplace
$A-lambdaI$ $=$ $((2-lambda,0,0,0),(3,-lambda,0,0),(0,0,2-lambdaI,0),(0,-5,0,3-lambda))$
$det(A-lambdaI)$ $=$ $(2-lambda)((2-lambda,0,0),(3,-lambda,0),(0,-5,3-lambda))$ $=$
$=$ $(2-lambda)(3-lambda)((2-lambda,0),(3,-lambda)) -5 ((2-lambda,0),(3,0))$ $=$
$=$ $(2-lambda)(3-lambda)[-lambda(2-lambda)(-3*0)] -5[(2-lambda)*0-3*0]$ $=$
$=$ $(2-lambda)(3-lambda)(-2lambda+lambda^2)$) $(-2lambda+lambda^2)$ $=>$ $0,2$
pongo $det(A-lambdaI)=0$
$lambda=3$ $m.a.=1$
$lambda=2$ $m.a.=2$
$lambda =0$ $m.a.=1$
io ho fatto questa per trovare gli autovalori.........è corretta????
$((2,0,0,0),(3,0,0,0),(0,0,2,0),(0,-5,0,3))$
con laplace
$A-lambdaI$ $=$ $((2-lambda,0,0,0),(3,-lambda,0,0),(0,0,2-lambdaI,0),(0,-5,0,3-lambda))$
$det(A-lambdaI)$ $=$ $(2-lambda)((2-lambda,0,0),(3,-lambda,0),(0,-5,3-lambda))$ $=$
$=$ $(2-lambda)(3-lambda)((2-lambda,0),(3,-lambda)) -5 ((2-lambda,0),(3,0))$ $=$
$=$ $(2-lambda)(3-lambda)[-lambda(2-lambda)(-3*0)] -5[(2-lambda)*0-3*0]$ $=$
$=$ $(2-lambda)(3-lambda)(-2lambda+lambda^2)$) $(-2lambda+lambda^2)$ $=>$ $0,2$
pongo $det(A-lambdaI)=0$
$lambda=3$ $m.a.=1$
$lambda=2$ $m.a.=2$
$lambda =0$ $m.a.=1$
mi risulta difficile scrivere tutta la regola qui sul forum, anche perchè è presente in qualsiasi libro.
Comunque, abbastanza sommariamente:
data una matrice quadrata definisco complemento algebrico dell'elemento $a_ij$ (dove i e j sono le posizioni in riga e colonna tipo 1° riga 2° colonna) il determinante della matrice ottenuta dalla matrice di partenza cancellando la riga e la colonna che contengono $a_ij$ il tutto moltiplicato per $(-1)^(i+j)$ (che poi praticamente equivale a cambiare il segno quando la somma dei posti in colonna e riga è dispari ad esempio 1° riga 1° colonna 1+1=2 $(-1)^2=1$ il segno non si cambia).
A questo punto la regola di Laplace dice che il determinante di una matrice quadrata è uguale alla somma degli elementi di una riga (o di una colonna) ciascuno moltiplicato per il proprio complemento algebrico.
Naturalmente ti conviene applicare questo metodo alla riga o colonna che contiene più 0.
Comunque se provi a fare qualche esercizio e ci sono ancora problemi fai sapere.
Comunque, abbastanza sommariamente:
data una matrice quadrata definisco complemento algebrico dell'elemento $a_ij$ (dove i e j sono le posizioni in riga e colonna tipo 1° riga 2° colonna) il determinante della matrice ottenuta dalla matrice di partenza cancellando la riga e la colonna che contengono $a_ij$ il tutto moltiplicato per $(-1)^(i+j)$ (che poi praticamente equivale a cambiare il segno quando la somma dei posti in colonna e riga è dispari ad esempio 1° riga 1° colonna 1+1=2 $(-1)^2=1$ il segno non si cambia).
A questo punto la regola di Laplace dice che il determinante di una matrice quadrata è uguale alla somma degli elementi di una riga (o di una colonna) ciascuno moltiplicato per il proprio complemento algebrico.
Naturalmente ti conviene applicare questo metodo alla riga o colonna che contiene più 0.
Comunque se provi a fare qualche esercizio e ci sono ancora problemi fai sapere.
prendiamo la matrice $A=[[3,5,-1],[2,4,0],[-8,0,1]]$. scegliamo ad esempio la terza riga. siccome la riga in questione è costituita da 3 elementi, il determinante della matrice $A$ sarà la somma di 3 termini:
il primo termine è $-8$ per $(-1)^{3+1}$ per $\det([[5,-1],[4,0]])$, cioè $-32$
il secondo termine è $0$ per $\ldots$ che fa zero
il terzo termine è $1$ per $(-1)^{3+3}$ per $\det([[3,5],[2,4]])$, cioè $2$
[/list:u:3ptc2dyx]
il determinante di $A$ è quindi $-32+0+2=-30$
il fatto è che ho trovato questa regola sul libro e mi ha confuso:
$((+1,-1,+1,...,-1),(-1,+1,-1,...,+1),(+1,-1,+1,...,-1),(-1,+1,-1,...,+1))$ se di ordine pari
$((+1,-1,+1,...,+1),(-1,+1,-1,...,-1),(+1,-1,+1,...,+1),(+1,-1,+1,...,-1))$ se di ordine dispari
$((+1,-1,+1,...,-1),(-1,+1,-1,...,+1),(+1,-1,+1,...,-1),(-1,+1,-1,...,+1))$ se di ordine pari
$((+1,-1,+1,...,+1),(-1,+1,-1,...,-1),(+1,-1,+1,...,+1),(+1,-1,+1,...,-1))$ se di ordine dispari
nel tuo esercizio il determinate mi sembra calcolato bene (anche a me viene lo stesso), comunque negli ultimi passaggi avresti potuto scegliere l'ultima colonna in moda da avere solo $(3-λ)*det(...)$ ma il risultato naturalmente non sarebbe cambiato
ma mi spieghi quel diagramma scritto sopra (in realtà non è una matrice)???
in realtà non c'è una "regola" che fa distinzione tra matrici di ordine pari e matrici di ordine dispari, si tratta semplicemente della matrice i cui elementi sono dati da $(-1)^{i+j}$...
cioè????
se stai considerando ad esempio l'elemento $a_{12}$ (che si trova cioè sulla prima riga e sulla seconda colonna di una matrice $A$) allora $(-1)^{i+j}$ vale $(-1)^{1+2}=(-1)^3=-1$ in quanto $i=1$ e $j=2$. se invece stai considerando ad esempio l'elemento $a_{42}$ (che si trova sulla quarta riga e sulla seconda colonna) allora $(-1)^{i+j}$ vale $(-1)^{4+2}=(-1)^6=1$ in quanto $i=4$ e $j=2$.
ho capito.......ma il -1 lo devo moltiplicare a cosa?
ok ora ho capito......grazie 1000!!!!
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