[Determinante matrice] Quale proprietà ha applicato il professore in questo passaggio?
Salve! Oggi il professore di algebra alla lavagna ha fatto il seguente passaggio (nel calcolare il determinante di una matrice), per il quale non riesco a capire quale proprietà abbia applicato. Vi sarei grato per cortesemente mi aiutaste.
$|(x_1-x_0,x_1*(x_1-x_0)),(x_2-x_0,x_2(x_2-x_0))| = (x_1-x_0)(x_2-x_0)|(1,x_1),(1,x_2)|$
Grazie!
$|(x_1-x_0,x_1*(x_1-x_0)),(x_2-x_0,x_2(x_2-x_0))| = (x_1-x_0)(x_2-x_0)|(1,x_1),(1,x_2)|$
Grazie!
Risposte
Ciao e benvenuto sul forum!
Il determinante di una matrice $2\times 2$ calcolato nel modo "classico" è \[\begin{pmatrix}
a&b\\c&d
\end{pmatrix} = ad-bc\] Nel tuo caso sarebbe \[\left(x_1-x_0\right )x_2\left (x_2-x_0\right) - x_1\left( x_1-x_0\right) \left (x_2-x_0\right ) \] Ora si può raccogliere \(\left(x_1-x_0\right )\left (x_2-x_0\right)\) e si ottiene \[
\left(x_1-x_0\right )\left (x_2-x_0\right)\left (x_2 - x_1\right )
\] Questo fattore \(\left(x_2-x_1\right)\) si può vedere come il determinante di una matrice \[\begin{pmatrix}
1&x_1\\1&x_2
\end{pmatrix}\] ed ecco che ottieni il tuo risultato.
Il determinante di una matrice $2\times 2$ calcolato nel modo "classico" è \[\begin{pmatrix}
a&b\\c&d
\end{pmatrix} = ad-bc\] Nel tuo caso sarebbe \[\left(x_1-x_0\right )x_2\left (x_2-x_0\right) - x_1\left( x_1-x_0\right) \left (x_2-x_0\right ) \] Ora si può raccogliere \(\left(x_1-x_0\right )\left (x_2-x_0\right)\) e si ottiene \[
\left(x_1-x_0\right )\left (x_2-x_0\right)\left (x_2 - x_1\right )
\] Questo fattore \(\left(x_2-x_1\right)\) si può vedere come il determinante di una matrice \[\begin{pmatrix}
1&x_1\\1&x_2
\end{pmatrix}\] ed ecco che ottieni il tuo risultato.
Ciao! E grazie mille per la risposta!
Ho capito i passaggi che mi hai scritto, il fatto è però che il professore è passato direttamente dall'uguaglianza di sinistra a quella di destra, per poi usare la tecnica di base per il calcolo di matrici 2x2. Sembra quasi che abbia "portato fuori" dalla matrice quei due termini rispettivamente dalla prima riga e dalla seconda riga, come se li avesse raccolti... E' lì che ho i miei dubbi, magari invece ha solo fatto tutto a mente con la logica che mi hai scritto tu.
Francesco
Ho capito i passaggi che mi hai scritto, il fatto è però che il professore è passato direttamente dall'uguaglianza di sinistra a quella di destra, per poi usare la tecnica di base per il calcolo di matrici 2x2. Sembra quasi che abbia "portato fuori" dalla matrice quei due termini rispettivamente dalla prima riga e dalla seconda riga, come se li avesse raccolti... E' lì che ho i miei dubbi, magari invece ha solo fatto tutto a mente con la logica che mi hai scritto tu.
Francesco
Un altro modo di vedere le cose è sfruttare la linearità del determinante rispetto alle righe della matrice: \[
\begin{align}
\begin{vmatrix}x_1-x_0&x_1\left(x_1-x_0\right)\\x_2-x_0&x_2\left(x_2-x_0\right)\end{vmatrix} &= \left(x_1-x_0\right)\begin{vmatrix}1&x_1\\x_2-x_0&x_2\left(x_2-x_0\right)\end{vmatrix}\\
&= \left(x_1-x_0\right)\left(x_2-x_0\right)\begin{vmatrix}1&x_1\\1&x_2\end{vmatrix}
\end{align}\]
\begin{align}
\begin{vmatrix}x_1-x_0&x_1\left(x_1-x_0\right)\\x_2-x_0&x_2\left(x_2-x_0\right)\end{vmatrix} &= \left(x_1-x_0\right)\begin{vmatrix}1&x_1\\x_2-x_0&x_2\left(x_2-x_0\right)\end{vmatrix}\\
&= \left(x_1-x_0\right)\left(x_2-x_0\right)\begin{vmatrix}1&x_1\\1&x_2\end{vmatrix}
\end{align}\]
Ho capito adesso! Benissimo, grazie mille!
Prego! Per altri dubbi siamo qui! 
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