Determinante matrice in incognita

[gian91io]

salve a tutti, sono uno studente di statistica e all esame di algebra lineare mi è capitato questo esercizio


$((A11+x,A12,A13,...,A1N),(A21,A22+X,A23,...,A2N),(A31,A32,A33+x,...,A3N),(AM1,AM2,AM3,...,AMN+X))$

con la seguente consegna: si scriva il determinante della matrice sotto forma di polinomio nelle potenze decrescenti di x

io non so proprio come risolvere...qualcuno mi potrebbe aiutare?

[retrocomputer]

Due domande:
1) $x$ e $X$ sono variabili diverse?
2) la matrice è rettangolare $m\times n$?

[Sk_Anonymous]

Poiché si parla di polinomio nella indeterminata x, presumo che x ed X siano la stessa cosa e che inoltre sia
M=N ( =n).
In caso contrario il quesito avrebbe scarso senso. Per la risoluzione poniamo :
\(\displaystyle A=\begin{pmatrix} a_{11}&&a_{12}&&...&&a_{1n} \\a_{21}&&a_{22}&&...&&a_{2n}\\...&&...&&...&&...\\a_{n1}&&a_{n2}&&...&&a_{nn} \ \end{pmatrix} \)
ed indichiamo con \(\displaystyle M_i \) la somma dei minori principali di A di ordine i, ovvero dei minori formati con i righe ed i colonne di A ed aventi la diagonale principale sulla diagonale principale di A. In particolare è :
\(\displaystyle M_1=a_{11}+a_{22}+a_{33}+...+a_{nn} \) =traccia di A
\(\displaystyle M_n=det(A) \)
Allora il polinomio richiesto è :
\(\displaystyle p(x)=x^n+M_1x^{n-1}+M_2x^{n-2}+...+M_{n-1}x+M_n \)

[gian91io]

si era così l ho scritta male ma me la ricordavo male... grazie mille per la risposta