Determinante matrice 4x4 con Laplace..dove sbaglio?
ciao a tutti, sono alle prese con questo esercizio, non riesco a capire dove sbaglio, il determinante dovrebbe venire $28$. Aiutatemi per favore a capire dove sta l'errore. Grazie in anticipo.
Calcolare il determinante della seguente matrice $A=((1,-1,2,1),(3,0,1,2),(2,1,3,1),(-1,2,-1,1))$
ho utilizzato il metodo di Laplace, e per calcolare il determinante del complemento algebrico ho utilizzato la regola di Sarrus
nella matrice ho scelto la seconda riga, perchè c'è uno zero
quindi la formula da applicare è
$det A= 3\cdot det A_(21)+1\cdot det A_(23)+2\cdot det A_(24)$
ove
$A_(21)= (-1)^(2+1)\cdot det((-1,2,1),(1,3,1),(2,-1,1))=-1[-3-1+4-(6+2+1)]=-1[-9]=9$
$A_(23)=(-1)^(2+3)\cdot det ((1,-1,1),(2,1,3),(-1,2,1))=-1[1+4+3-(-1-2+6)]=-1[8-3]=-5$
$A_(24)=(-1)^(2+4)\cdot det ((1,-1,2),(2,1,3),(-1,2,-1))=1+8+3-(-2+6+2)=6$
quindi si ha
$det A=3\cdot 9+1\cdot (-5)+2\cdot(6)=27-5+12=34$
ma il risultato dovrebbe essere 28.. dove sbaglio?
Calcolare il determinante della seguente matrice $A=((1,-1,2,1),(3,0,1,2),(2,1,3,1),(-1,2,-1,1))$
ho utilizzato il metodo di Laplace, e per calcolare il determinante del complemento algebrico ho utilizzato la regola di Sarrus
nella matrice ho scelto la seconda riga, perchè c'è uno zero
quindi la formula da applicare è
$det A= 3\cdot det A_(21)+1\cdot det A_(23)+2\cdot det A_(24)$
ove
$A_(21)= (-1)^(2+1)\cdot det((-1,2,1),(1,3,1),(2,-1,1))=-1[-3-1+4-(6+2+1)]=-1[-9]=9$
$A_(23)=(-1)^(2+3)\cdot det ((1,-1,1),(2,1,3),(-1,2,1))=-1[1+4+3-(-1-2+6)]=-1[8-3]=-5$
$A_(24)=(-1)^(2+4)\cdot det ((1,-1,2),(2,1,3),(-1,2,-1))=1+8+3-(-2+6+2)=6$
quindi si ha
$det A=3\cdot 9+1\cdot (-5)+2\cdot(6)=27-5+12=34$
ma il risultato dovrebbe essere 28.. dove sbaglio?
Risposte
Se non vedo male, c'è un errore qui:
La matrice corretta è \[\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}\]
il cui determinante è \(1+1+4+1-2+2=7\)
Inoltre è sbagliato anche il determinante del terzo minore... controlla bene i conti.
"21zuclo":
[...]
$A_(23)=(-1)^(2+3)\cdot det ((1,-1,1),(2,1,3),(-1,2,1))=-1[1+4+3-(-1-2+6)]=-1[8-3]=-5$
[...]
La matrice corretta è \[\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}\]
il cui determinante è \(1+1+4+1-2+2=7\)
Inoltre è sbagliato anche il determinante del terzo minore... controlla bene i conti.
Ah ok!..ora ho rifatto l'esercizio e dovrebbe essere giusto
$ A_(23)=-1| ( 1 , -1 , 1 ),( 2 , 1 , 1 ),( -1 , 2 , 1 ) |=-1(6+1)=-7 $
$ A_(24)=+1| ( 1 , -1 , 2 ),( 2 , 1 , 3 ),( -1 , 2 , -1 ) |=-1+8+3-(-2+2+6)=4 $
$ | ( 1 , -1 , 2 , 1 ),( 3 , 0 , 1 , 2 ),( 2 , 1 , 3 , 1 ),( -1 , 2 , -1 , 1 ) | =3\cdot9-7+2(4)=28 $
una cosa.. ma per calcolare il determinante di una matrice come questa, cioè 4X4, si utilizza sempre questo metodo con Laplace, oppure c'è un altro modo più veloce?
Perchè con matrici 2X2 o 3X3, ok c'è la formula, ma per le matrici 4X4, 5X5.. sempre il metodo di Laplace?
$ A_(23)=-1| ( 1 , -1 , 1 ),( 2 , 1 , 1 ),( -1 , 2 , 1 ) |=-1(6+1)=-7 $
$ A_(24)=+1| ( 1 , -1 , 2 ),( 2 , 1 , 3 ),( -1 , 2 , -1 ) |=-1+8+3-(-2+2+6)=4 $
$ | ( 1 , -1 , 2 , 1 ),( 3 , 0 , 1 , 2 ),( 2 , 1 , 3 , 1 ),( -1 , 2 , -1 , 1 ) | =3\cdot9-7+2(4)=28 $
una cosa.. ma per calcolare il determinante di una matrice come questa, cioè 4X4, si utilizza sempre questo metodo con Laplace, oppure c'è un altro modo più veloce?
Perchè con matrici 2X2 o 3X3, ok c'è la formula, ma per le matrici 4X4, 5X5.. sempre il metodo di Laplace?
Dal punto vista computazionale credo che MEG (Metodo di Eliminazione di Gauss) sia molto più conveniente (mi pare si parlasse di complessità \(\sim n^3\), contro una complessità \(\sim n!\) dello sviluppo di Laplace).
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