Determinante Matrice 2x3
Salve a tutti! Sono nuovo nel forum e super incapace in matematica 
Scrivo qui oggi per sottoporvi un quesito che per molti di voi sarà stupido ma a cui non trovo risposta. Come calcolo il determinante di una matrice 2x3? e come scopro il rango? Nell'ultimo appello di matematica 1 (architettura) mi è capitata una matrice 2x3 (-k 1 (k-1) / 1 -4k 1 )
L'esercizio chiedeva di trovare il comportamento del sistema al variare di K. Ok.
So svolgere questo tipo di esercizio con matrici 3x3 o 3x2 ma con una 2x3 non so dove mettere le mani.. come si procede se il determinante non si può calcolare perché non è una matrice quadrata?
Grazie a tutti in anticipo!
Scrivo qui oggi per sottoporvi un quesito che per molti di voi sarà stupido ma a cui non trovo risposta. Come calcolo il determinante di una matrice 2x3? e come scopro il rango? Nell'ultimo appello di matematica 1 (architettura) mi è capitata una matrice 2x3 (-k 1 (k-1) / 1 -4k 1 )
L'esercizio chiedeva di trovare il comportamento del sistema al variare di K. Ok.
So svolgere questo tipo di esercizio con matrici 3x3 o 3x2 ma con una 2x3 non so dove mettere le mani.. come si procede se il determinante non si può calcolare perché non è una matrice quadrata?
Grazie a tutti in anticipo!
Risposte
Il determinante è una caratteristica esclusiva delle matrici quadrate mentre per il rango basta ridurre la matrice a scalini con Gauss, funziona sempre ...
Non l'abbiamo fatto gauss però 
Sai cos'è una matrice ridotta a scalini? Sai quali sono le operazioni per arrivarci? Magari non sai che si chiamano "mosse di Gauss" od "operazioni di Gauss" ma mi sembra strano che tu non le conosca ... sono tre: scambiare di posto due righe, moltiplicare una riga per un numero diverso da zero e aggiungere ad una riga un'altra eventualmente moltiplicata per un numero
"Gianluzard":e non sempre si usa Gauss, io personalmente lo odio. Il rango della tua matrice puó essere massimo \(2\) (ultima proprietá base di qui), e sfruttando l´ultima definizione di qui puoi usare il determinante di una sua sottomatrice quadrata (un minore invertibile non é altro che una sottomatrice quadrata di determinante non nullo), nel tuo caso al variare di \(k\), prova/inizia!! Ti devi sporcare un po le mani ma una volta capito il procedere capirai la banalitá del calcolo..
Non l'abbiamo fatto gauss però
[ot]ps=cerca di usare la codifica LaTex, usa magari https://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php, inserendo le formule entro i delimitatori ad esempio
\(e
\)[/ot]
Grazie mille! Ora ci sbatterò un po' la testa
I gusti sono gusti 
Io trovo che anche in questo caso sia più semplice e lineare usare Gauss ...
Data la matrice $((-k,1,k-1),(1,-4k,1))$ che per comodità riscrivo così $((1,-4k,1),(-k,1,k-1))$ basta una solo operazione di Gauss (ovvero aggiungere alla seconda riga la prima riga moltiplicata per $k$) per ridurla a scalini $((1,-4k,1),(0,1-4k^2,2k-1))$.
Questa matrice ha rango $1$ solo se la seconda riga è totalmente nulla ovvero se $k=1/2$ (si vede ad occhio), altrimenti ha rango $2$.
Con l'altro metodo devi calcolarti i determinanti delle due sottomatrici ($4k^2-1$ e $1+4k^2-4k$) e discuterli.
Non che ci sia 'sta gran differenza però io non vedo una maggior semplicità ... IMHO ...
Cordialmente, Alex
Io trovo che anche in questo caso sia più semplice e lineare usare Gauss ...
Data la matrice $((-k,1,k-1),(1,-4k,1))$ che per comodità riscrivo così $((1,-4k,1),(-k,1,k-1))$ basta una solo operazione di Gauss (ovvero aggiungere alla seconda riga la prima riga moltiplicata per $k$) per ridurla a scalini $((1,-4k,1),(0,1-4k^2,2k-1))$.
Questa matrice ha rango $1$ solo se la seconda riga è totalmente nulla ovvero se $k=1/2$ (si vede ad occhio), altrimenti ha rango $2$.
Con l'altro metodo devi calcolarti i determinanti delle due sottomatrici ($4k^2-1$ e $1+4k^2-4k$) e discuterli.
Non che ci sia 'sta gran differenza però io non vedo una maggior semplicità ... IMHO ...
Cordialmente, Alex
Quindi per applicare Gauss devo aggiungere soltanto alla seconda riga, la prima moltiplicata per K? in tutti i casi o solo in questo specifico?
No, questo è un caso specifico ma usare il metodo di Gauss è semplice, in pratica basta applicare opportunamente le necessarie operazioni di Gauss (quelle che ho citato precedentemente) al fine di ridurre a scalini la matrice; è una procedura meccanica, completamente automatizzabile.
Ovviamente occorre un po' di pratica per essere efficienti e su matrici di questo livello non è che ci sia una sostanziale differenza ...
Faccio un esempio ...
Data questa matrice $((2,6,5,6),(1,3,3,5),(1,2,2,4))$, scambio la prima riga con la terza (questa è la prima della operazioni di Gauss, raramente necessaria, l'ho fatta per comodità di calcoli) così $((1,2,2,4),(1,3,3,5),(2,6,5,6))$.
Per ottenere una matrice a scalini devo "azzerare" i valori sotto il primo uno della prima colonna, per far questo utilizzo la terza delle operazioni di Gauss, prima moltiplicando per $-1$ la prima riga e sommandola alla seconda, sostituendo quest'ultima col risultato e poi moltiplicando sempre la prima riga per $-2$ e sommandola alla terza riga, sostituendo quest'ultima col risultato cioè così $((1,2,2,4),(0,1,1,1),(0,2,1,-2))$.
Per arrivare alla matrice a scalini faccio la stessa cosa sulla seconda colonna: moltiplico la seconda riga per $-2$ e la sommo alla terza, sostituendo quest'ultima col risultato così $((1,2,2,4),(0,1,1,1),(0,0,-1,-4))$.
Per il rango basta così (la matrice è ridotta nella forma a scalini), ma come esempio moltiplico la terza riga per $-1$ (questa è la seconda operazione di Gauss) così $((1,2,2,4),(0,1,1,1),(0,0,1,4))$.
Se vuoi, qui puoi approfondire ...
Cordialmente, Alex
Ovviamente occorre un po' di pratica per essere efficienti e su matrici di questo livello non è che ci sia una sostanziale differenza ...
Faccio un esempio ...
Data questa matrice $((2,6,5,6),(1,3,3,5),(1,2,2,4))$, scambio la prima riga con la terza (questa è la prima della operazioni di Gauss, raramente necessaria, l'ho fatta per comodità di calcoli) così $((1,2,2,4),(1,3,3,5),(2,6,5,6))$.
Per ottenere una matrice a scalini devo "azzerare" i valori sotto il primo uno della prima colonna, per far questo utilizzo la terza delle operazioni di Gauss, prima moltiplicando per $-1$ la prima riga e sommandola alla seconda, sostituendo quest'ultima col risultato e poi moltiplicando sempre la prima riga per $-2$ e sommandola alla terza riga, sostituendo quest'ultima col risultato cioè così $((1,2,2,4),(0,1,1,1),(0,2,1,-2))$.
Per arrivare alla matrice a scalini faccio la stessa cosa sulla seconda colonna: moltiplico la seconda riga per $-2$ e la sommo alla terza, sostituendo quest'ultima col risultato così $((1,2,2,4),(0,1,1,1),(0,0,-1,-4))$.
Per il rango basta così (la matrice è ridotta nella forma a scalini), ma come esempio moltiplico la terza riga per $-1$ (questa è la seconda operazione di Gauss) così $((1,2,2,4),(0,1,1,1),(0,0,1,4))$.
Se vuoi, qui puoi approfondire ...
Cordialmente, Alex
Grazie mille Alex!
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