Determinante e volume
Sto cercando di capire perché il determinante dei vettori che formano un parallelepipedo corrisponde al volume di quest'ultimo, in qualunque dimensione.
Ho trovato una risposta qui (la risposta segnata come 'best answer'):
https://math.stackexchange.com/question ... dimensions
ma non ne ho capito un passaggio, ovvero quando dice 'This corresponds to a skew translation of the parallelepiped'.
Mi pare di capire che lo scrivente afferma che sostituire una colonna con lei stessa più un'altra (ad esempio) corrisponde a una traslazione rigida del parallelepipedo, e di conseguenza il volume resta lo stesso. Non riesco a capirlo: se sommo una colonna ad un'altra, ottengo un nuovo vettore che in generale ha anche una lunghezza diversa, non mi sembra che si tratti di una traslazione rigida.
Come mai dovrei essere certo che questo passaggio mi mantenga invariato il volume?
Ho trovato una risposta qui (la risposta segnata come 'best answer'):
https://math.stackexchange.com/question ... dimensions
ma non ne ho capito un passaggio, ovvero quando dice 'This corresponds to a skew translation of the parallelepiped'.
Mi pare di capire che lo scrivente afferma che sostituire una colonna con lei stessa più un'altra (ad esempio) corrisponde a una traslazione rigida del parallelepipedo, e di conseguenza il volume resta lo stesso. Non riesco a capirlo: se sommo una colonna ad un'altra, ottengo un nuovo vettore che in generale ha anche una lunghezza diversa, non mi sembra che si tratti di una traslazione rigida.
Come mai dovrei essere certo che questo passaggio mi mantenga invariato il volume?
Risposte
Infatti non è quello che viene detto: una "skew translation" è semplicemente una "deformazione di taglio".
Disegnando due vettori nel piano, diciamo \(v,w\), se rimpiazzi v con \(v+aw\), per \(a\neq 0\), e disegni l'area del rettangolo di lati \(v+aw,w\), ti accorgerai che è la stessa del rettangolo di lati \(v,w\).
Disegnando due vettori nel piano, diciamo \(v,w\), se rimpiazzi v con \(v+aw\), per \(a\neq 0\), e disegni l'area del rettangolo di lati \(v+aw,w\), ti accorgerai che è la stessa del rettangolo di lati \(v,w\).
C’è una dimostrazione del perché, in qualunque dimensione, questa cosa non cambia il volume?
Beh, mi vengono in mente tre modi, dipende da cosa chiedi a questa dimostrazione di (non) usare:
Puoi voler usare un approccio puramente sintetico, e allora auguri e benvenuto nel 1805, e perdere molto tempo a trovare un argomento di geometria sintetica, che sicuramente esiste, ma che è difficile adattare da una dimensione all'altra... per esempio, nel caso del piano, si tratta di fare considerazioni medie (cioè, pertinenza di chiunque abbia una licenza media) relative a come si calcola l'area di un rettangolo.
Nell'algebra vettoriale appena appena elementare, l'area di un rettangolo "generato da due vettori \(v,w\)" si calcola con la regola
\[
A(v,w) = |v||w|\sin \theta
\] dove \(\theta = \theta(v,w)\) è l'angolo della regione di piano convessa che i due vettori formano tra loro. Questo ha nascosto sotto il tappeto alcune cose che lo studente medio non si chiede a 14 anni, ovverosia: cos'è la trigonometria? Cos'è un angolo? Cos'è la funzione seno? Come si calcola? et cetera. Funziona, ma al prezzo di fare l'ingegnere.
Un altro problema è che nel caso del piano, è sufficiente fare un disegno per convincersi che \(\theta(,w) = \theta(v+aw,w)\); ma come si generalizza questa costruzione a uno spazio di dimensione più alta? Chiaramente non esiste "il seno dell'angolo tra 3 vettori".
La risposta è che bisogna introdurre i determinanti, che non sono una cosa calata dal cielo, ma l'unica a soddisfare un certo numero di proprietà (due):
1. \(\det\) è una applicazione $n$-lineare e alternante \(K^{n} \times \dots K^n \to K\);
2 Sulla base canonica, \(\det\) vale 1.
Puoi voler usare un approccio puramente sintetico, e allora auguri e benvenuto nel 1805, e perdere molto tempo a trovare un argomento di geometria sintetica, che sicuramente esiste, ma che è difficile adattare da una dimensione all'altra... per esempio, nel caso del piano, si tratta di fare considerazioni medie (cioè, pertinenza di chiunque abbia una licenza media) relative a come si calcola l'area di un rettangolo.
Nell'algebra vettoriale appena appena elementare, l'area di un rettangolo "generato da due vettori \(v,w\)" si calcola con la regola
\[
A(v,w) = |v||w|\sin \theta
\] dove \(\theta = \theta(v,w)\) è l'angolo della regione di piano convessa che i due vettori formano tra loro. Questo ha nascosto sotto il tappeto alcune cose che lo studente medio non si chiede a 14 anni, ovverosia: cos'è la trigonometria? Cos'è un angolo? Cos'è la funzione seno? Come si calcola? et cetera. Funziona, ma al prezzo di fare l'ingegnere.
Un altro problema è che nel caso del piano, è sufficiente fare un disegno per convincersi che \(\theta(,w) = \theta(v+aw,w)\); ma come si generalizza questa costruzione a uno spazio di dimensione più alta? Chiaramente non esiste "il seno dell'angolo tra 3 vettori".
La risposta è che bisogna introdurre i determinanti, che non sono una cosa calata dal cielo, ma l'unica a soddisfare un certo numero di proprietà (due):
1. \(\det\) è una applicazione $n$-lineare e alternante \(K^{n} \times \dots K^n \to K\);
2 Sulla base canonica, \(\det\) vale 1.
Per un attimo mi sono chiesto: ma non è che la definizione stessa di volume è proprio il determinante?
Però poi mi sono risposto che la definizione di volume in qualunque dimensione che già conoscevo era questa:
\(\displaystyle \int_{V\in\mathbb{R}^n}1\cdot\mathrm{d}x := \int_{I\supset V}\chi_V(x)\cdot\mathrm{d}x\)
dove \(\displaystyle \chi_V(x) \) vale 1 se x è in V, 0 altrimenti. \(\displaystyle I \) è un qualunque rettangolo di \(\displaystyle \mathbb{R}^n \) che contiene $V$.
Nel caso di lati ortogonali e paralleli agli assi di \(\displaystyle \mathbb{R}^n \), è immediato vedere che sia questa che la formula del determinante forniscono lo stesso risultato. Quindi, per rispondere alla mia domanda iniziale, chiuderei il cerchio di uguaglianze se facessi vedere che una deformazione di taglio non modifica il valore del volume in questo senso integrale.
No?
Però poi mi sono risposto che la definizione di volume in qualunque dimensione che già conoscevo era questa:
\(\displaystyle \int_{V\in\mathbb{R}^n}1\cdot\mathrm{d}x := \int_{I\supset V}\chi_V(x)\cdot\mathrm{d}x\)
dove \(\displaystyle \chi_V(x) \) vale 1 se x è in V, 0 altrimenti. \(\displaystyle I \) è un qualunque rettangolo di \(\displaystyle \mathbb{R}^n \) che contiene $V$.
Nel caso di lati ortogonali e paralleli agli assi di \(\displaystyle \mathbb{R}^n \), è immediato vedere che sia questa che la formula del determinante forniscono lo stesso risultato. Quindi, per rispondere alla mia domanda iniziale, chiuderei il cerchio di uguaglianze se facessi vedere che una deformazione di taglio non modifica il valore del volume in questo senso integrale.
No?
Ho trovato questa:
https://math.stackexchange.com/question ... skew-trans
che però non ho capito, in quanto è vero che la cross-section resta sempre la stessa, ma \(\displaystyle c_\min \) e \(\displaystyle c_\max \) dipendono dalla deformazione scelta.
Boh, forse mi sto incartando su una cosa più semplice di quanto invece mi appaia.
https://math.stackexchange.com/question ... skew-trans
che però non ho capito, in quanto è vero che la cross-section resta sempre la stessa, ma \(\displaystyle c_\min \) e \(\displaystyle c_\max \) dipendono dalla deformazione scelta.
Boh, forse mi sto incartando su una cosa più semplice di quanto invece mi appaia.
È una domanda naturale e ricorrente. La risposta veloce è che il determinante uguaglia il volume per definizione di volume. Ma perché definiamo il volume a questa maniera?
La mia risposta andrà a parare esattamente nelle stesse proprietà già citate da fulcanelli (a cui tra l’altro do il benvenuto, non credo abbiamo mai interagito finora).
Infatti, in dimensione 2 e 3, c’è già una definizione di volume data dalla geometria classica. Verificare che essa coincide con il determinante non è difficile, si tratta di fare un calcolo. Per generalizzare questa definizione alle dimensioni superiori, bisogna astrarne delle proprietà che la caratterizzino. Il volume in sè non è il massimo a questo scopo; è molto meglio considerare il “volume con segno”. Infatti, il volume con segno è lineare in ogni variabile, mentre il volume standard, siccome è costretto ad essere sempre positivo, non lo è. Più precisamente, il volume con segno verifica le due proprietà già citate da fulcanelli, ed esse non dipendono dalla dimensione.
È per questo che definiamo il volume in termini di determinante. In questo modo possiamo misurare tutti i parallelepipedi. Se poi volessimo estendere la definizione a oggetti più generali, dovremmo metterci a ragionare arrivando, dopo un bel po’, alla definizione della misura di Lebesgue; è lì che cominciano ad apparire gli integrali.
Questa mia risposta è stata scritta molto di fretta. Per maggiori informazioni consiglio di spulciare il libro di Winitzki;
https://sites.google.com/site/winitzki/linalg
La mia risposta andrà a parare esattamente nelle stesse proprietà già citate da fulcanelli (a cui tra l’altro do il benvenuto, non credo abbiamo mai interagito finora).
Infatti, in dimensione 2 e 3, c’è già una definizione di volume data dalla geometria classica. Verificare che essa coincide con il determinante non è difficile, si tratta di fare un calcolo. Per generalizzare questa definizione alle dimensioni superiori, bisogna astrarne delle proprietà che la caratterizzino. Il volume in sè non è il massimo a questo scopo; è molto meglio considerare il “volume con segno”. Infatti, il volume con segno è lineare in ogni variabile, mentre il volume standard, siccome è costretto ad essere sempre positivo, non lo è. Più precisamente, il volume con segno verifica le due proprietà già citate da fulcanelli, ed esse non dipendono dalla dimensione.
È per questo che definiamo il volume in termini di determinante. In questo modo possiamo misurare tutti i parallelepipedi. Se poi volessimo estendere la definizione a oggetti più generali, dovremmo metterci a ragionare arrivando, dopo un bel po’, alla definizione della misura di Lebesgue; è lì che cominciano ad apparire gli integrali.
Questa mia risposta è stata scritta molto di fretta. Per maggiori informazioni consiglio di spulciare il libro di Winitzki;
https://sites.google.com/site/winitzki/linalg
Consiglio il video di 3blue1brown;
https://youtu.be/Ip3X9LOh2dk
Questi video sono veramente eccellenti. Fino a poco fa pensavo che usare YouTube per studiare fosse un errore ma mi sono ricreduto. Non sostituisce i libri, naturalmente.
https://youtu.be/Ip3X9LOh2dk
Questi video sono veramente eccellenti. Fino a poco fa pensavo che usare YouTube per studiare fosse un errore ma mi sono ricreduto. Non sostituisce i libri, naturalmente.
[ot]
...e comunque viva i libri e la didattica in presenza. 
[/ot]
"dissonance":E pensavi male
[...] Fino a poco fa pensavo che usare YouTube per studiare fosse un errore ma mi sono ricreduto. Non sostituisce i libri, naturalmente.
...e comunque viva i libri e la didattica in presenza. [/ot]
@j18eos: C'è molta variabilità. Su YouTube ho visto numerose porcherie indicibili. Però ci sono anche delle perle. 3blue1brown è sicuramente tra i migliori, mi piace moltissimo.
[ot]Non vorrei essere assolutamente S.T.R., ma io non ascolto "il primo che passa"(, sia come matematico che come persona).
Assolutamente d'accordo che su youtube (e non solo) ci siano delle porcherie spacciate per matematica (e\o fisica), ma ci sono anche delle videolezioni fantastiche; ne cito giusto tre: O. Debarre ed E. Sernesi (in Messico) e B. Fantechi (in India), che tennero dei mini-corsi di geometria algebrica, pubblicati poi su youtube, che m'hanno aiutato.
[/ot]Scrivendo qualcosa IT: sicuramente questo thread m'ha aiutato a "concretizzare" il prodotto vettoriale. Grazie.
Assolutamente d'accordo che su youtube (e non solo) ci siano delle porcherie spacciate per matematica (e\o fisica), ma ci sono anche delle videolezioni fantastiche; ne cito giusto tre: O. Debarre ed E. Sernesi (in Messico) e B. Fantechi (in India), che tennero dei mini-corsi di geometria algebrica, pubblicati poi su youtube, che m'hanno aiutato.
[/ot]Scrivendo qualcosa IT: sicuramente questo thread m'ha aiutato a "concretizzare" il prodotto vettoriale. Grazie.
Grazie ragazzi.
Ho trovato anche io una risposta soddisfacente al dubbio che avevo evidenziato nel mio ultimo messaggio.
Usando il determinante come definizione di volume di parallelepipedi in qualunque dimensione, o meglio usando il determinante della matrice di Gram, abbiamo in particolare che per una n-superficie $S$ in \(\displaystyle \mathbb{R}^n \), parametrizzata dalle coordinate \(\displaystyle t^1,...,t^n \in D_t \), succede proprio che:
\(\displaystyle V_n(S) := \int_{D_t} \sqrt{\det G} dt = \int_{D_t} |\det x'(t)| dt = \int_S dx = V(S) \)
il che mi pare un bel ponte tra le due cose.
Ho trovato anche io una risposta soddisfacente al dubbio che avevo evidenziato nel mio ultimo messaggio.
Usando il determinante come definizione di volume di parallelepipedi in qualunque dimensione, o meglio usando il determinante della matrice di Gram, abbiamo in particolare che per una n-superficie $S$ in \(\displaystyle \mathbb{R}^n \), parametrizzata dalle coordinate \(\displaystyle t^1,...,t^n \in D_t \), succede proprio che:
\(\displaystyle V_n(S) := \int_{D_t} \sqrt{\det G} dt = \int_{D_t} |\det x'(t)| dt = \int_S dx = V(S) \)
il che mi pare un bel ponte tra le due cose.
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