Determinante e matrici di matrici
Supponiamo di avere una matrice a blocchi, cioè una matrice
\[ M = \pmatrix{A & B \\ C & D} \]
dove per semplicità suppongo \( A, B, C, D \) matrici quadrate dello stesso ordine.
È corretto dire che \( \det\, M = AD - BC \)? Se sì, perché?
Grazie in anticipo.
\[ M = \pmatrix{A & B \\ C & D} \]
dove per semplicità suppongo \( A, B, C, D \) matrici quadrate dello stesso ordine.
È corretto dire che \( \det\, M = AD - BC \)? Se sì, perché?
Grazie in anticipo.
Risposte
No che non è corretto.
$A,B,C,D$ sono tutte matrici quadrate di ordine $n$, dunque $AD-BC$ è anch'essa una matrice quadrata di ordine $n$.
Invece $det(M)$ è uno scalare.
$A,B,C,D$ sono tutte matrici quadrate di ordine $n$, dunque $AD-BC$ è anch'essa una matrice quadrata di ordine $n$.
Invece $det(M)$ è uno scalare.
Quindi è impossibile definire una nozione di determinante per questo tipo di matrici (a blocchi)?
Questo, sinceramente, non saprei. Ma ti serve a qualcosa?
Invece è possibile. L'anello delle matrici a coefficienti nelle matrici quadrate (diciamo 3x3) è isomorfo all'anello delle matrici scalari 6x6, e il determinante della matrice di matrici che descrivi è una matrice 3x3 il cui determinante è uguale al determinante della matrice 6x6 ottenuta da essa.
Ah, ok. Quindi è giusto che \( \det\, M = AD - BC \)?
No, e penso che quella di killing_buddha fosse la risposta ad un'altra domanda (i.e. come definire la nozione di determinante per "matrici di matrici").
Beh, le matrici di matrici non sono matrici a blocchi?
Formalmente no 
Una "matrice a blocchi" è una comunissima matrice scalare, che però viene rappresentata attraverso alcune sue sottomatrici. Una matrice di matrici è una matrice i cui elementi sono matrici.
Il concetto di determinante si può definire per matrici a coefficienti in un anello qualsiasi, diciamo $A$, e il determinante è proprio un elemento di $A$. Se $A\equiv \mathcal{M}_n(R)$ ($R$ altro anello), il determinante di un elemento di $\mathcal{M}(A)$ (ovvero il determinante di una matrice di matrici) sarà a sua volta una matrice (non più uno scalare).
Se la matrice che hai descritto è effettivamente una matrice di matrici (e non una matrice a blocchi), allora ok, il determinante è quello che dici, ed è una matrice. Inoltre (questo lo dice killing_buddha, io non lo so
), il determinante di questo determinante ( 
) coincide col determinante della matrice di $\mathcal{M}_{2n}(R)$ che a blocchi si scrive come la tua.
Una "matrice a blocchi" è una comunissima matrice scalare, che però viene rappresentata attraverso alcune sue sottomatrici. Una matrice di matrici è una matrice i cui elementi sono matrici.Il concetto di determinante si può definire per matrici a coefficienti in un anello qualsiasi, diciamo $A$, e il determinante è proprio un elemento di $A$. Se $A\equiv \mathcal{M}_n(R)$ ($R$ altro anello), il determinante di un elemento di $\mathcal{M}(A)$ (ovvero il determinante di una matrice di matrici) sarà a sua volta una matrice (non più uno scalare).
Se la matrice che hai descritto è effettivamente una matrice di matrici (e non una matrice a blocchi), allora ok, il determinante è quello che dici, ed è una matrice. Inoltre (questo lo dice killing_buddha, io non lo so
), il determinante di questo determinante ( ) coincide col determinante della matrice di $\mathcal{M}_{2n}(R)$ che a blocchi si scrive come la tua.
@killing: non che non mi fidassi 
semplicemente è una cosa che non ho dimostrato, né mi è capitato di leggere.
semplicemente è una cosa che non ho dimostrato, né mi è capitato di leggere.
"killing_buddha":
Dunque, vediamo se ho capito bene.
In altre parole mi state dicendo che
\[ \det\, (\det\, M) = \det\, (AD - BC) = \det\, \tilde M \]
dove \( \tilde M \) è la matrice che ottengo scrivendo \( M \) "dimenticando la divisione a blocchi"?
Si', ma nota che e' vero solo se le matrici commutano tutte tra loro; i determinanti su un anello non commutativo sono difficili anche solo da definire, perche' la definizione ovvia non va bene...
Non ho capito cosa significa che due matrici commutano tra loro.
"Riccardo Desimini":
Non ho capito cosa significa che due matrici commutano tra loro.
Che $AB=BA$
Ah. Beh è una condizione piuttosto forte, non trovate?
Si potrebbe dire che la nozione di matrice a blocchi coincide con quella di matrice di matrice qualora i blocchi abbiano tutti le stesse dimensioni? Io direi proprio di sì.
Si potrebbe dire che la nozione di matrice a blocchi coincide con quella di matrice di matrice qualora i blocchi abbiano tutti le stesse dimensioni? Io direi proprio di sì.
Puoi identificare un oggetto con l'altro; $\mathcal{M}_{mn}(A)$ e $\mathcal{M}_m(\mathcal{M}_n(A))$ sono isomorfi.
Già. Grazie per le risposte.
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