Determinante di una matrice tridiagonale di ordine n?
ciao a tutti!
è la prima volta che scrivo sul forum e non sono riuscita ad usare il programma per scrivere le matrici, ma vedrò di spiegarmi lo stesso, vediamo se ci riesco!
Ho trovato un esercizio che chiede di calcolare il determinante di una matrice tridiagonale di ordine n che ha la variabile reale b nella diagonale principale, -b^2 nella diagonale secondaria inferiore e 2 nella diagonale secondaria superiore; ossia
aij=b se i=j
aij=-(b^2) se j=i+1
aij=2 se se i=j+1
(dove i è la riga i-esima e j la colonna j-esima)
il determinante deve ovviamente essere scritto in funzione della variabile b.
Ho provato a risolverlo sia con la regola di Laplaca che con quella di Gauss ma non riesco ad arrivare ad un risultato decente... qualcuno può aiutarmi? grazie a tutti in anticipo!
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è la prima volta che scrivo sul forum e non sono riuscita ad usare il programma per scrivere le matrici, ma vedrò di spiegarmi lo stesso, vediamo se ci riesco!
Ho trovato un esercizio che chiede di calcolare il determinante di una matrice tridiagonale di ordine n che ha la variabile reale b nella diagonale principale, -b^2 nella diagonale secondaria inferiore e 2 nella diagonale secondaria superiore; ossiaaij=b se i=j
aij=-(b^2) se j=i+1
aij=2 se se i=j+1
(dove i è la riga i-esima e j la colonna j-esima)
il determinante deve ovviamente essere scritto in funzione della variabile b.
Ho provato a risolverlo sia con la regola di Laplaca che con quella di Gauss ma non riesco ad arrivare ad un risultato decente... qualcuno può aiutarmi? grazie a tutti in anticipo!
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Risposte
C'è un modo per fattorizzare le matrici tridiagonali in un prodotto $LU$ di una matrice triangolare inferiore $L$ e una triangolare superiore $U$. A quel punto il problema è semplice.
Prova a cercare questo algoritmo, se cerchi "fattorizzare tridiagonale" su google si trova qualcosa.
Paola
Prova a cercare questo algoritmo, se cerchi "fattorizzare tridiagonale" su google si trova qualcosa.
Paola
@Paola: Tu dici che si arriva da qualche parte per quella strada? Non lo escludo assolutamente, però mi pare un po' troppo "numerica"... Questo invece lo vedo come un esercizio teorico.
Infatti, per le matrici tridiagonali esistono delle formule ricorsive relative ai determinanti. Ne parlammo tantissimo tempo fa con Martino e NightKnight qui. Quello del link è un caso particolare, per una trattazione generale si possono consultare gli appunti di M.Cailotto
http://www.math.unipd.it/~maurizio/m2m/AGLQ910pp.pdf
pag.114 (se nel frattempo non è cambiata la numerazione delle pagine). Mi riferisco a §4.7.
Infatti, per le matrici tridiagonali esistono delle formule ricorsive relative ai determinanti. Ne parlammo tantissimo tempo fa con Martino e NightKnight qui. Quello del link è un caso particolare, per una trattazione generale si possono consultare gli appunti di M.Cailotto
http://www.math.unipd.it/~maurizio/m2m/AGLQ910pp.pdf
pag.114 (se nel frattempo non è cambiata la numerazione delle pagine). Mi riferisco a §4.7.
@ paola: ho trovato qualcosa riguardo alla scomposizione della matrice tridiagonale in due più semplici, anche se non ho ben capito come si fa... in ogni caso una volta scomposta la matrice basta calcolare il determinante delle due componenti e poi farne il prodotto, giusto?
@dissonance: cercavo per l'appunto di capire se esistono formule ricorsive... ho letto il precedente post che hai linkato ma quel caso era un pò più semplice del mio... ho letto anche gli appunti che mi hai suggerito ma il paragrafo 4.7 non esiste... il capitolo sui determinanti si ferma al paragrafo 5 (il sesto contiene esercizi)!
grazie ad entrambi per l'aiuto comunque!
@dissonance: cercavo per l'appunto di capire se esistono formule ricorsive... ho letto il precedente post che hai linkato ma quel caso era un pò più semplice del mio... ho letto anche gli appunti che mi hai suggerito ma il paragrafo 4.7 non esiste... il capitolo sui determinanti si ferma al paragrafo 5 (il sesto contiene esercizi)!
grazie ad entrambi per l'aiuto comunque!
@Laua: Io veramente lo vedo: pagina 114 (numerazione interna del file; pagina 110 secondo la numerazione scritta sulle pagine) punto 4.7: Tridiagonanti. Forse è sbagliato scrivere §4.7 in questi casi? 
Il paragrafo 4, comunque, si chiama "Determinanti notevoli".
Il paragrafo 4, comunque, si chiama "Determinanti notevoli".
Chiamo $A_n$ la matrice tridiagonale di ordine $n$ come definita.
Provo a sviluppare il determinante secondo la prima riga.
così ho $|A_n|=b*|A_(n-1)|-2*|A^"*"_(n-1)|$.
Ora,la matrice $A^"*"_(n-1)$ ha $b^2$ invece che $b$ nel posto $1,1$, ed il resto della prima colonna di tutti elementi nulli.
In generale: $A^"*"_(n-m)=((b^2,2,0,...),(0,A_(n-m-1),,))$
Così $|A^"*"_(n-m)|=b^2*|A_(n-m-1)|$
Allora: $|A_n|=b*|A_(n-1)|-2*b^2*|A_(n-2)|$
A questo punto, pensavo si potesse ottenere una formula generale, piuttosto che ricorsiva, però
non ci sono riuscito.
Provo a sviluppare il determinante secondo la prima riga.
così ho $|A_n|=b*|A_(n-1)|-2*|A^"*"_(n-1)|$.
Ora,la matrice $A^"*"_(n-1)$ ha $b^2$ invece che $b$ nel posto $1,1$, ed il resto della prima colonna di tutti elementi nulli.
In generale: $A^"*"_(n-m)=((b^2,2,0,...),(0,A_(n-m-1),,))$
Così $|A^"*"_(n-m)|=b^2*|A_(n-m-1)|$
Allora: $|A_n|=b*|A_(n-1)|-2*b^2*|A_(n-2)|$
A questo punto, pensavo si potesse ottenere una formula generale, piuttosto che ricorsiva, però
non ci sono riuscito.
@orazioster: anche io avevo tentato questa strada, però come te mi sono bloccata sulla formula... non so come mai non si riesca a ricavare!
@dissonance: scusa ero io che non avevo capito... pensavo che con il simbolo § intendessi un paragrafo non un punto... per quello ti ho scritto che il capitolo 4 arriva solo fino al paragrafo 6! sorry
comunque ho pensato di risolvere la matrice usando il metodo di eliminazione di gauss per eliminare una diagonale (in particolare quella con i b^2) e rendere la matrice una triangolare superiore...in questo modo il determinante dovrebbe essere il prodotto degli elementi della diagonale principale, cioè b^n moltiplicato per il prodotto dei coefficenti di tutte le b! il problema è che non riesco a ricavare una formula ricorsiva per i coefficenti... ho pensato di lasciare indicate delle lettere (l'esercizio chiedeva di scrivere il determinante in modo esplicito come funzione di b...) secondo voi potrebbe essere corretto oppure è un azzardo troppo grande?
@dissonance: scusa ero io che non avevo capito... pensavo che con il simbolo § intendessi un paragrafo non un punto... per quello ti ho scritto che il capitolo 4 arriva solo fino al paragrafo 6! sorry
comunque ho pensato di risolvere la matrice usando il metodo di eliminazione di gauss per eliminare una diagonale (in particolare quella con i b^2) e rendere la matrice una triangolare superiore...in questo modo il determinante dovrebbe essere il prodotto degli elementi della diagonale principale, cioè b^n moltiplicato per il prodotto dei coefficenti di tutte le b! il problema è che non riesco a ricavare una formula ricorsiva per i coefficenti... ho pensato di lasciare indicate delle lettere (l'esercizio chiedeva di scrivere il determinante in modo esplicito come funzione di b...) secondo voi potrebbe essere corretto oppure è un azzardo troppo grande?
Questo che stai facendo, praticamente, è quello che ti ha consigliato Paola all'inizio. Il problema è trovare un modo per capire quali coefficienti spuntano sulla diagonale principale. Io purtroppo non ci riesco (ma io non sono certo un asso in queste cose). Mi spiego. Se la matrice originaria è questa
$[[b, 2, 0,],[b^2, b, 2,], [ldots, ldots, ldots, ldots]]$
dopo un passo di algoritmo di Gauss abbiamo questo
$[[b, 2, 0, ,], [0,-b, 2, ,], [0, b^2, b, 2, ], [ldots, ldots, ldots, ldots, ldots]]$
dopo un altro passo, abbiamo questo
$[[b, 2, 0, ,,], [0,-b, 2, ,,], [0,0, 3b, 2,,], [0,0,b^2, b, 2,],[ldots, ldots, ldots, ldots, ldots, ldots]]$
eccetera. Le trasformazioni che abbiamo effettuato non alterano il determinante, che alla fine sarà quindi il prodotto degli elementi sulla diagonale principale. Ma chi sono questi elementi? Dopo tre passi, sono $b, -b, 3b$. Un passo ancora, e spunterà $b/3$. E poi chissà che altro. Non vedo un metodo facile per prevedere cosa ci sarà alla fine. (Questo NON significa che un tale metodo non esista! Non sono allenato in questo tipo di esercizi.)
Perché invece non cercare di risolvere la ricorrenza indicata da orazioster? Una relazione di quel tipo è la versione discreta di una equazione differenziale, e tante volte si può risolvere esplicitamente.
$[[b, 2, 0,],[b^2, b, 2,], [ldots, ldots, ldots, ldots]]$
dopo un passo di algoritmo di Gauss abbiamo questo
$[[b, 2, 0, ,], [0,-b, 2, ,], [0, b^2, b, 2, ], [ldots, ldots, ldots, ldots, ldots]]$
dopo un altro passo, abbiamo questo
$[[b, 2, 0, ,,], [0,-b, 2, ,,], [0,0, 3b, 2,,], [0,0,b^2, b, 2,],[ldots, ldots, ldots, ldots, ldots, ldots]]$
eccetera. Le trasformazioni che abbiamo effettuato non alterano il determinante, che alla fine sarà quindi il prodotto degli elementi sulla diagonale principale. Ma chi sono questi elementi? Dopo tre passi, sono $b, -b, 3b$. Un passo ancora, e spunterà $b/3$. E poi chissà che altro. Non vedo un metodo facile per prevedere cosa ci sarà alla fine. (Questo NON significa che un tale metodo non esista! Non sono allenato in questo tipo di esercizi.)
Perché invece non cercare di risolvere la ricorrenza indicata da orazioster? Una relazione di quel tipo è la versione discreta di una equazione differenziale, e tante volte si può risolvere esplicitamente.
Aspetta aspetta che c'è un errore. @Laua: Scrivo la matrice, dicci per favore se è corretta:
$[[b, 2, ,,], [-b^2,b,2,,], [,-b^2,b,2,], [ldots,ldots,ldots,ldots,ldots]]$
@orazioster: La relazione ricorsiva che hai trovato è corretta?
$[[b, 2, ,,], [-b^2,b,2,,], [,-b^2,b,2,], [ldots,ldots,ldots,ldots,ldots]]$
@orazioster: La relazione ricorsiva che hai trovato è corretta?
@dissonance: si la matrice è corretta con il -(b^2), ma il ragionamento che hai fatto nel post precedente è comunque corretta... i valori che spuntano non sono quelli ma non riesco ad individuare una relazione che li descriva!
Ho provato anche a risolverlo con il metodo suggerito da orazioster, ma non sono riuscita ad ottenere la relazione finale...
Ho provato anche a risolverlo con il metodo suggerito da orazioster, ma non sono riuscita ad ottenere la relazione finale...
Le relazioni ricorsive come quelle trovate da Orazio si possono risolvere in modo standard. Il procedimento è esattamente lo stesso di quello che usi per integrare le equazioni differenziali lineari omogenee e a coefficienti costanti. Qui è spiegato, anche se - devo dire la verità - non molto bene:
http://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_ ... d_omogenee
http://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_ ... d_omogenee
Uh! i calcoli che avevo svolto erano giusti, ma non
avevo VISTo il segno "meno" davanti a $b^2$, quindi l'ho considerato come $+b^2$.
e in effetti, non avevo pensato che le relazioni ricorsive (come da qualche parte della mia mente sapevo) hanno una "soluzione" trovata considerando le differenze finite.
avevo VISTo il segno "meno" davanti a $b^2$, quindi l'ho considerato come $+b^2$.
e
in effetti, non avevo pensato che le relazioni ricorsive (come da qualche parte della mia mente sapevo) hanno una "soluzione" trovata considerando le differenze finite.
Considerando allora che l'elemento
è $-b^2$, mentre prima avevo contato per $b^2$, abbiamo:
$|A_n|=b*|A_(n-1)|+2*b^2*|A_(n-2)|$
A cui corrisponde l'equazione caratteristica:
$h^2-bh-2b^2=0$, di soluzioni: $h_1=2b$,$h_2=-b$.
Ho allora: $|A_n|=\alpha(2b)^n+\beta(-b)^n$.
Con le condizioni inziali:
$|A_1|=b$
e
$|A_2|=3b^2$,
ottengo:
$|A_n|=2/3(2b)^n+1/3(-b)^n$
Infatti:
$|A_3|=2/3(8b^3)-1/3(b^3)=5b^3$,
etc.
è $-b^2$, mentre prima avevo contato per $b^2$, abbiamo:
$|A_n|=b*|A_(n-1)|+2*b^2*|A_(n-2)|$
A cui corrisponde l'equazione caratteristica:
$h^2-bh-2b^2=0$, di soluzioni: $h_1=2b$,$h_2=-b$.
Ho allora: $|A_n|=\alpha(2b)^n+\beta(-b)^n$.
Con le condizioni inziali:
$|A_1|=b$
e
$|A_2|=3b^2$,
ottengo:
$|A_n|=2/3(2b)^n+1/3(-b)^n$
Infatti:
$|A_3|=2/3(8b^3)-1/3(b^3)=5b^3$,
etc.
Ah ecco, grande Orazio!!! Io m'ero incartato con i calcoli, ti devo confessare (consideravo anche la matrice sbagliata, con $b^2$ in luogo di $-b^2$). Ho controllato il risultato con un software di calcolo e sono ragionevolmente sicuro che sia esatto.
ah ecco... ora mi è tutto chiaro!! grazie a tutti per l'aiuto, davvero!!
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