Determinante di una matrice triangolare superiore

[asromavale1]

premetto il seguente teorema che verra utilizzato in seguito






dove la condizione ($D$) è che $d(I_n)=1$

quello che non capisco dell'esempio 9.3 è perche' le righe $A''_1,A_2,...,A_n$ sono linearmente dipendenti così come le righe $A'_1,A''_2,...,A_n$
grazie in anticipo

[Sk_Anonymous]

Ciao.

Se osservi attentamente, la matrice con righe $A''_1, A_2,...,A_n$ è una matrice avente prima colonna formata esclusivamente da elementi nulli, per cui $d(A''_1, A_2,...,A_n)=0$, quindi la dipendenza lineare dei vettori riga della matrice è conseguenza della dipendenza lineare dei vettori colonna.

Saluti.

[dissonance]

C'è anche una riga nulla, quindi uno può pure applicare direttamente il ragionamento. Non occorre neanche scomodare il determinante. La famiglia di vettori $\mathbf{v}_1\ldots \mathbf{v}_{n-1}, \mathbf{0}$ è *sempre* linearmente dipendente, qualsiasi siano $\mathbf{v}_1\ldots \mathbf{v}_{n-1}$: infatti c'è la combinazione lineare nulla non banale $0*\mathbf{v}_1+\ldots + 0*\mathbf{v}_{n-1} + 1*\mathbf{0}=\mathbf{0}$.