Determinante di una circonferenza (fascio di coniche)
Salve,
Ieri ho provato a studiare un fascio di coniche tra le quali dovevo trovare la circonferenza,
ricordo che nei miei appunti avevo scritto che per trovare l'equazione di una circonferenza
bisogna porre il determinante di A (matrice dei tremini di 2° grado) uguale a 1 e ricavare
il paramentro (sbaglio?).
Il problema è che nel seguente fascio la circonferenza si trova per $ h = 1 $ invece se
pongo il determinante $ 4h $ uguale a 1 trovo che la circonferenza si ottiene per $ h = 1/4$
com'è possibile?
$(h+1)x^2 + (h+1)y^2 + 2(1-h)xy - 2x -2y + 1 - h = 0$
Ieri ho provato a studiare un fascio di coniche tra le quali dovevo trovare la circonferenza,
ricordo che nei miei appunti avevo scritto che per trovare l'equazione di una circonferenza
bisogna porre il determinante di A (matrice dei tremini di 2° grado) uguale a 1 e ricavare
il paramentro (sbaglio?).
Il problema è che nel seguente fascio la circonferenza si trova per $ h = 1 $ invece se
pongo il determinante $ 4h $ uguale a 1 trovo che la circonferenza si ottiene per $ h = 1/4$
com'è possibile?
$(h+1)x^2 + (h+1)y^2 + 2(1-h)xy - 2x -2y + 1 - h = 0$
Risposte
Per essere una circonferenza il termine $a_(2,1)$ deve essere uguale a $0$, quindi $h=1$.
Osserva anche che la circonferenza è una particolare ellisse, quindi il determinante della matrice principale deve essere maggiore di $0$, e questo è verificato.
Osserva anche che la circonferenza è una particolare ellisse, quindi il determinante della matrice principale deve essere maggiore di $0$, e questo è verificato.
"mistake89":
Per essere una circonferenza il termine $a_(2,1)$ deve essere uguale a $0$, quindi $h=1$.
Si, infatti anche io ho trovato la circonferenza per h=1.
Il problema è che come ho già detto, nei miei appunti avevo scritto che per trovare l'equazione delle circonferenza basta porre
il determinante uguale a 1 e ricavare il parametro, e fin ora ho sempre fatto così e gli esercizi risultavano, ma adesso
mi trovo davanti quast'esercizio dove non funziona e quindi mi chiedo: quasta regola di porre il determinante uguale a 1
esiste davvero oppure no?
Personalmente non l'ho mai nè sentita nè utilizzata, ma non so...
data una generica conica di equazione:
$a*x^2 + b*xy + c*y^2 + d*x + e*y + f = 0$
puoi dire che è una circonferenza solo se si verificano entrambe queste condizioni:
$b = 0$ e $a = c$
pertanto la generica circonferenza ha equazione:
$a*x^2 + a*y^2 + d*x + e*y + f = 0$
che volendo si puo riscrivere cosi:
$x^2 + y^2 + d/a*x + e/a*y + f/a = 0$
solo in quest'ultimo caso $det(A)=1$
in tutti gli altri casi sara un generico numero x, det(A)=x > 0
in particolare il coefficiente di $x^2$ e $y^2$ sara $sqrt(x)$
puoi provare tu stesso:
al posto di risolvere il tuo esercizio scrivendo l'equazione cosi:
$(h+1)x^2 + (h+1)y^2 + 2(1-h)xy - 2x -2y + 1 - h = 0$
riscrivila cosi:
$x^2 + y^2 + 2(1-h)/(h+1)xy - 2/(h+1)x -2/(h+1)y + (1 - h)/(h+1) = 0$
ora se vai a calcolare det(A) dovrebbe essere uguale a 1 (come hai scritto negli appunti).
$a*x^2 + b*xy + c*y^2 + d*x + e*y + f = 0$
puoi dire che è una circonferenza solo se si verificano entrambe queste condizioni:
$b = 0$ e $a = c$
pertanto la generica circonferenza ha equazione:
$a*x^2 + a*y^2 + d*x + e*y + f = 0$
che volendo si puo riscrivere cosi:
$x^2 + y^2 + d/a*x + e/a*y + f/a = 0$
solo in quest'ultimo caso $det(A)=1$
in tutti gli altri casi sara un generico numero x, det(A)=x > 0
in particolare il coefficiente di $x^2$ e $y^2$ sara $sqrt(x)$
puoi provare tu stesso:
al posto di risolvere il tuo esercizio scrivendo l'equazione cosi:
$(h+1)x^2 + (h+1)y^2 + 2(1-h)xy - 2x -2y + 1 - h = 0$
riscrivila cosi:
$x^2 + y^2 + 2(1-h)/(h+1)xy - 2/(h+1)x -2/(h+1)y + (1 - h)/(h+1) = 0$
ora se vai a calcolare det(A) dovrebbe essere uguale a 1 (come hai scritto negli appunti).
ok, grazie per i chiarimenti
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