Determinante di un endomorfismo sullo spazio delle matrici quadrate

[continuumstst]

Sia $ A \in M_{n,n}(\mathbb{R}) $ e $ X \in M_{n,n}(\mathbb{R}) $, sia inoltre $ T : M_{n,n}(\mathbb{R}) \rightarrow M_{n,n}(\mathbb{R}) | T(X)=AX $.
Trovare il determinante dell'applicazione $ det(T) $.

Il testo come soluzione riporta $ det(T)=(det(A))^n $, ma non riesco a capire come mai.
La matrice associata all'applicazione $ T $ non dovrebbe essere $ A $ stessa? Se sì, perché non è $ det(T)=det(A) $ ?
non riesco proprio a capire ora come ora.

Ringrazio anticipatamente chi abbia la pazienza di aiutarmi!

[killing_buddha]

L'applicazione che manda una matrice $X$ nella matrice $AX$ non puo' avere, come matrice, $A$, ti pare? Se non altro per questioni di dimensione ($M_{n,n}(RR)$ ha dimensione $n^2$).

[killing_buddha]

Prova a fare un conto brutale per $n=2$, per convincerti.

[continuumstst]

Molto probabilmente, anzi sicuramente, non sto vedendo qualcosa di fondamentale, perché continua a non tornarmi.
Cerco di spiegare il mio ragionamento (sbagliato) a parole.

Siccome $ T(X)=AX $, per vedere che matrice rappresenta $ T $ non devo trovarne una che, moltiplicata per la matrice $ X $, dia proprio $ AX $ ? E questa matrice dunque dovrebbe proprio essere $ A $, visto che, moltiplicata per una matrice $ X $ che abbia $ n $ righe e colonne, restituisce il prodotto $ AX $, che è a sua volta una matrice con $ n $ righe e colonne.
Purtroppo non riesco a capire dove sta l'errore.

[killing_buddha]

$T$ è rappresentato da una matrice in $hom(M_{n,n}(RR), M_{n,n}(RR))$, ovvero in $M_{n^2}(RR)$, non da una matrice in $M_n(RR)$.