Determinante del prodotto di due matrici...
Salve a tutti!
Ho trovato tra gli esercizi di preparazione all'esame di geometria ed algebra lineare una dimostrazione che però non ho minimamente capito ( e tra l'altro facendo qualche prova numerica mi è sembrata anche sbagliata...). Il testo recita:
"Siano A una matrice m x n e B una matrice n x m, con m > n. Dimostrare che det(AB) = 0 per ogni A e B."
Qualcuno può darmi una mano?
Grazie a tutti in anticipo!!
Ho trovato tra gli esercizi di preparazione all'esame di geometria ed algebra lineare una dimostrazione che però non ho minimamente capito ( e tra l'altro facendo qualche prova numerica mi è sembrata anche sbagliata...). Il testo recita:
"Siano A una matrice m x n e B una matrice n x m, con m > n. Dimostrare che det(AB) = 0 per ogni A e B."
Qualcuno può darmi una mano?
Grazie a tutti in anticipo!!
Risposte
Semplicemente falso. Deve esserci un errore da qualche parte.
Ma che razza di senso ha parlare di determinante con matrici non quadrate?
Io so che [tex]\forall A,B\in M_n (\mathbb{K}),\;\;\;\; \det(AB)=\det(A)\det(B)[/tex] con [tex]\mathbb{K}[/tex] campo (Teorema di Binet).
Io so che [tex]\forall A,B\in M_n (\mathbb{K}),\;\;\;\; \det(AB)=\det(A)\det(B)[/tex] con [tex]\mathbb{K}[/tex] campo (Teorema di Binet).
@richard-dedekind $AB$ è quadrata!!!!
Accidenti, scusate la bischerata!! Comunque non torna lo stesso, no?
forse bisogna mettere l'ipotesi che l'immagine di $B$ sia contenuta nel nucleo di $A$.
Molto convincente.
A me pare vero!
Siano A, B, C insiemi e f:B->C e g:A->B. se fg è inietiva allora deve esserlo anche g (semplicissimo da dimostrare).
Det(AB) = 0 se e solo se AB non è bigettiva. Se AB fosse iniettiva dovrebbe esserlo anche B, impossibile perché B ha come dominio uno spazio di dimensione strettamente minore dello spazio di partenza.
Siano A, B, C insiemi e f:B->C e g:A->B. se fg è inietiva allora deve esserlo anche g (semplicissimo da dimostrare).
Det(AB) = 0 se e solo se AB non è bigettiva. Se AB fosse iniettiva dovrebbe esserlo anche B, impossibile perché B ha come dominio uno spazio di dimensione strettamente minore dello spazio di partenza.
Ho risposto in fretta, per dimostrarlo puoi fare così:
Il nucleo di B è contenuto nel nucleo di AB, in quanto se v è tale che Bv = vettore nullo allora AB(v) = A(vettore nullo) = vettore nullo. Ma B ha nucleo non banale in quanto m > n, dunque anche AB ha nucleo non banale è perciò deve necessariamente avere determinante nullo.
Il nucleo di B è contenuto nel nucleo di AB, in quanto se v è tale che Bv = vettore nullo allora AB(v) = A(vettore nullo) = vettore nullo. Ma B ha nucleo non banale in quanto m > n, dunque anche AB ha nucleo non banale è perciò deve necessariamente avere determinante nullo.
E' vero, è vero ragazzi. Fate un discorso di rango. Il rango del prodotto di due matrici può mai essere più grande del rango di uno dei fattori? E quindi, quanto può essere, al più, il rango di $AB$? Che cosa ci dice tutto ciò riguardo al determinante?
mmm ok credo di aver capito il ragionamento di ZeroMemory, ma non credo di aver afferrato molto bene il discorso di dissonance... per quello che so, dato che sia la matrice A che la matrice B hanno un rango massimo pari a n (che è minore di m) allora anche la matrice AB ha rango massimo n, giusto? però non capisco come possa risolvere questo problema... infatti se non sbaglio la matrice AB è n x n e perciò se ha rango n vuol dire che tutte le sue righe (o le colonne) sono linearmente indipendenti e il determinante è iverso da zero... e di conseguenza se A e B hanno rango n, la matrice AB ha determinante diverso da zero! fila oppure ho fatto qualche errore?
Date $A_(mxn)$ e $B_(nxm)$ , $(AB)$ è $mxm$ (e, per $m>n$, $det(AB)-=0,AAA,B$)
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