Determinante brutto
Devo dimostrare che se \( K \) è un campo numerico di grado \(3\) e con base intera (integral basis) \( (1,\alpha,\beta) \), allora si ha
\[ \operatorname{disc}(K)^3 = \]
\[ \left[ (\alpha_1-\alpha_2)(\beta_1-\beta_3) -(\alpha_1-\alpha_3)(\beta_1-\beta_2) \right]^2 \]
\[ \cdot \left[ (\alpha_1-\alpha_2)(\beta_2-\beta_3) -(\alpha_2-\alpha_3)(\beta_1-\beta_2) \right]^2 \]
\[ \cdot \left[ (\alpha_1-\alpha_3)(\beta_2-\beta_3) -(\alpha_2-\alpha_3)(\beta_1-\beta_3) \right]^2 \]
dove \( \sigma_i(\alpha ) = \alpha_i \) e \( \sigma_i(\beta)=\beta_i \) sono i coniugati di \(\alpha \) e \( \beta \), i.e. \( \sigma_i \in \operatorname{Hom}_{\mathbb{Q}}(K, \overline{Q}) \) per ogni \(1 \leq i \leq 3 \).
Giuro che in qualunque modo calcolo quel determinante: abbiamo per definizione
\[ \operatorname{disc}(K) = \det \begin{pmatrix} 1 & \alpha_1 & \beta_1 \\ 1 & \alpha_2 & \beta_2 \\ 1 & \alpha_3 & \beta_3 \end{pmatrix}^2 \]
non mi esce. O mi perdo costantemente qualche termine in qualche passaggio oppure non vedo qualcosa di "semplice" che me lo faccia affermare direttamente.
Ps: mi ricorda molto il determinante di Vandermonde...
\[ \operatorname{disc}(K)^3 = \]
\[ \left[ (\alpha_1-\alpha_2)(\beta_1-\beta_3) -(\alpha_1-\alpha_3)(\beta_1-\beta_2) \right]^2 \]
\[ \cdot \left[ (\alpha_1-\alpha_2)(\beta_2-\beta_3) -(\alpha_2-\alpha_3)(\beta_1-\beta_2) \right]^2 \]
\[ \cdot \left[ (\alpha_1-\alpha_3)(\beta_2-\beta_3) -(\alpha_2-\alpha_3)(\beta_1-\beta_3) \right]^2 \]
dove \( \sigma_i(\alpha ) = \alpha_i \) e \( \sigma_i(\beta)=\beta_i \) sono i coniugati di \(\alpha \) e \( \beta \), i.e. \( \sigma_i \in \operatorname{Hom}_{\mathbb{Q}}(K, \overline{Q}) \) per ogni \(1 \leq i \leq 3 \).
Giuro che in qualunque modo calcolo quel determinante: abbiamo per definizione
\[ \operatorname{disc}(K) = \det \begin{pmatrix} 1 & \alpha_1 & \beta_1 \\ 1 & \alpha_2 & \beta_2 \\ 1 & \alpha_3 & \beta_3 \end{pmatrix}^2 \]
non mi esce. O mi perdo costantemente qualche termine in qualche passaggio oppure non vedo qualcosa di "semplice" che me lo faccia affermare direttamente.
Ps: mi ricorda molto il determinante di Vandermonde...
Risposte
Prova a sottrarre la prima riga alla seconda e alla terza.
E ma così ottengo
\[ \operatorname{disc}(K)^3 = \left[ (\alpha_1-\alpha_2)(\beta_1-\beta_3) -(\alpha_1-\alpha_3)(\beta_1-\beta_2) \right]^6 \]
ora dovrei dimostrare che
\[ \left[ (\alpha_1-\alpha_2)(\beta_1-\beta_3) -(\alpha_1-\alpha_3)(\beta_1-\beta_2) \right]^4 = \text{altri due} \]
ma non mi sembra molto possibile (magari mi sbaglio eh)
Tra l'altro ho fatto un typo (nell'ultimo prodotto nei beta) c'era un \( \beta_2 \) quando doveva esserci un \( \beta_1\). Correggo (ma non è quello l'errore)
\[ \operatorname{disc}(K)^3 = \left[ (\alpha_1-\alpha_2)(\beta_1-\beta_3) -(\alpha_1-\alpha_3)(\beta_1-\beta_2) \right]^6 \]
ora dovrei dimostrare che
\[ \left[ (\alpha_1-\alpha_2)(\beta_1-\beta_3) -(\alpha_1-\alpha_3)(\beta_1-\beta_2) \right]^4 = \text{altri due} \]
ma non mi sembra molto possibile (magari mi sbaglio eh)
Tra l'altro ho fatto un typo (nell'ultimo prodotto nei beta) c'era un \( \beta_2 \) quando doveva esserci un \( \beta_1\). Correggo (ma non è quello l'errore)
Hai controllato con magma o sage o simili che quelle espressioni coincidano, viste come polinomi negli $\alpha_i,\beta_i$? Perchè se lo fanno, quella è la dimostrazione.
Non so se ho capito (o implementato) bene la domanda, ma:
Questo fa zero, quindi la cosa è vera; il determinante e l'espressione fanno esattamente \((-\alpha_1 \beta_2+\alpha_1 \beta_3+\alpha_2 \beta_1-\alpha_2 \beta_3-\alpha_3 \beta_1+\alpha_3 \beta_2)^6\).
A = {{1, a1, b1}, {1, a2, b2}, {1, a3, b3}}
det = Det[A.A]^3 // FullSimplify
exp = ((a1 - a2) (b1 - b3) - (a1 - a3) (b1 - b2))^2 ((a1 - a2) (b2 - b3) - (a2 - a3) (b1 - b2))^2 ((a1 - a3) (b2 - b3) - (a2 - a3) (b1 - b3))^2 // FullSimplify
det - exp // Simplify
Questo fa zero, quindi la cosa è vera; il determinante e l'espressione fanno esattamente \((-\alpha_1 \beta_2+\alpha_1 \beta_3+\alpha_2 \beta_1-\alpha_2 \beta_3-\alpha_3 \beta_1+\alpha_3 \beta_2)^6\).
"megas_archon":
Non so se ho capito (o implementato) bene la domanda, ma:
A = {{1, a1, b1}, {1, a2, b2}, {1, a3, b3}} det = Det[A.A]^3 // FullSimplify exp = ((a1 - a2) (b1 - b3) - (a1 - a3) (b1 - b2))^2 ((a1 - a2) (b2 - b3) - (a2 - a3) (b1 - b2))^2 ((a1 - a3) (b2 - b3) - (a2 - a3) (b1 - b3))^2 // FullSimplify det - exp // Simplify
Questo fa zero, quindi la cosa è vera; il determinante e l'espressione fanno esattamente \((-\alpha_1 \beta_2+\alpha_1 \beta_3+\alpha_2 \beta_1-\alpha_2 \beta_3-\alpha_3 \beta_1+\alpha_3 \beta_2)^6\).
Sì appunto.
"hydro":
Hai controllato con magma o sage o simili che quelle espressioni coincidano, viste come polinomi negli $\alpha_i,\beta_i$? Perchè se lo fanno, quella è la dimostrazione.
Non so cos'è magma, ne sage.
Però non ho capito qual'è la dimostrazione, quella di Martino?
La dimostrazione è che fai il conto e vedi che quelle espressioni coincidono. E siccome è una rottura di scatole, lo fai fare ad un computer.
"hydro":
La dimostrazione è che fai il conto e vedi che quelle espressioni coincidono. E siccome è una rottura di scatole, lo fai fare ad un computer.
Magma posso scaricarlo gratis con le credenziali della mia università? O devo pagarlo?
"3m0o":
[quote="hydro"]La dimostrazione è che fai il conto e vedi che quelle espressioni coincidono. E siccome è una rottura di scatole, lo fai fare ad un computer.
Magma posso scaricarlo gratis con le credenziali della mia università? O devo pagarlo?[/quote]
Il programma intero lo devi pagare (anche se è possibile che la tua università abbia la licenza) ma puoi usare gratis questo: http://magma.maths.usyd.edu.au/calc/. Memoria e tempo di calcolo sono limitati ma ampiamente sufficienti per fare quello che vuoi tu. Altrimenti c'è Sage https://www.sagemath.org/ che va bene uguale.
Prova così: la prima riga meno la seconda e la seconda meno la terza, poi fai il determinante. Poi lo ricalcoli facendo però la seconda riga meno la terza e la terza meno la prima. Poi moltiplichi i due risultati. Mi sembra che venga.
Anzi oltre a quello che ho detto fai anche la terza meno la prima e la prima meno la seconda, poi fai il determinante nei tre casi e li moltiplichi.
Ti giuro che mi è proprio venuto in mente in questo esatto istante, e stavo per scriverlo viene in tutti e tre i casi esattamente \( \operatorname{disc}(K) \), quindi i tre moltiplicati assieme vengono \( \operatorname{disc}(K)^3 \) 
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