Determinante

[monetaria]

perchè se una matrice quadrata ha una riga che è combinazione lineare di altre righe ha determinante nullo??

[_Tipper]

Se una riga è combinazione delle altre il rango non è pieno, quindi la dimensione del ker è maggiore di zero. Se il determinante fosse diverso da zero allora l'unico vettore del ker sarebbe il vettore nullo, ma questo è in contrasto con quanto detto prima.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Tipper ha detto benissimo.
Dò la mia interpretazione.

Premessa: è noto che se una riga è combinazione delle altre allora esiste una colonna che è combinazione delle altre, e viceversa.

"monetaria":perchè se una matrice quadrata ha una riga che è combinazione lineare di altre righe ha determinante nullo??

E' una conseguenza del fatto che il determinante è (come funzione delle colonne) una funzione multilineare (ovvero lineare in tutte le variabili) e alternante (ovvero se due suoi argomenti coincidono il risultato è zero).

Per fare un esempio semplice, hai che il determinante della matrice $3 xx 3$ che ha come colonne i vettori $v,w,av+bw$ (quindi la terza è combinazione delle prime due) vale (indico con $D$ la funzione determinante)

$D(v,w,av+bw) = D(v,w,av)+D(v,w,bw) = a D(v,w,v) + b D(v,w,w) = a*0+b*0 = 0$.