Determinante
Ciao,
ho iniziato da poco un corso di Geometria
e come primo argomento stiamo affrontando le matrici,
non siamo ancora arrivati allo studio del determinante ma sto leggendo qualcosa per conto mio sulle slide del prof.
ho un pò di confusione riguardo lo sviluppo di Laplace, però
inizialmente viene spiegato lo sviluppo secondo la prima riga e in un secondo momento
inizia a parlare delle proprietà del determinante rispetto alle operazioni elementari di riga,
la terza dice :
Se A' è ottenuta da A scambiando due righe diverse allora det(A') = −det(A).
in pratica se sviluppo secondo una riga qualsiasi ottengo un determinante opposto a quello ottenuto dalla prima,
quindi non è vero che posso sviluppare secondo una riga qualsiasi perchè i due determinanti non sono uguali, giusto ?
So che potrebbe sembrare una domanda stupida,
ma è tutto il pomeriggio che ci sto pensando e non riesco più ad andare avanti, ciao
ho iniziato da poco un corso di Geometria
e come primo argomento stiamo affrontando le matrici,
non siamo ancora arrivati allo studio del determinante ma sto leggendo qualcosa per conto mio sulle slide del prof.
ho un pò di confusione riguardo lo sviluppo di Laplace, però
inizialmente viene spiegato lo sviluppo secondo la prima riga e in un secondo momento
inizia a parlare delle proprietà del determinante rispetto alle operazioni elementari di riga,
la terza dice :
Se A' è ottenuta da A scambiando due righe diverse allora det(A') = −det(A).
in pratica se sviluppo secondo una riga qualsiasi ottengo un determinante opposto a quello ottenuto dalla prima,
quindi non è vero che posso sviluppare secondo una riga qualsiasi perchè i due determinanti non sono uguali, giusto ?
So che potrebbe sembrare una domanda stupida,
ma è tutto il pomeriggio che ci sto pensando e non riesco più ad andare avanti, ciao
Risposte
Il determinante di una matrice non dipende dalla particolare riga o colonna scelta per lo sviluppo.
Ciao Tipper,
questo è il punto a cui vuole arrivare
e per farlo è partito dalle proprietà dette prima, ma quella dice che il $det(A') != det(A)$
se io non fossi a conoscenza che il determinante non dipende dalla riga(o colonna) che si prende in considerazione
direi,
se sviluppo la prima riga il determinante è quello, altrimenti ci metto un meno davanti
e questo che non riesco a capire
questo è il punto a cui vuole arrivare
e per farlo è partito dalle proprietà dette prima, ma quella dice che il $det(A') != det(A)$
se io non fossi a conoscenza che il determinante non dipende dalla riga(o colonna) che si prende in considerazione
direi,
se sviluppo la prima riga il determinante è quello, altrimenti ci metto un meno davanti
e questo che non riesco a capire
Prova con una matrice identità $2\ times 2$, forse capisci cosa vuol dire quella proprietà.
Quello che ti voglio dire è questo: quando sviluppi secondo una riga, o colonna, per ogni elemento di posto $i,j$, calcoli il determinante che si ottiene cancellando l'$i$-esima riga e la $j$-esima colonna, poi moltiplichi per il valore in questione, poi per $(-1)^{i+j}$, e li sommi tutti.
Se scambi quella riga con un'altra, possono succedere due cose: se prima $(-1)^{i+j}$ aveva un valore ora assume valore opposto, altrimenti, può accadere che cambiano le matrici ottenute cancellando la riga e la colonna corrispondenti, per cui cambiano di segno i determinanti delle sotto-matrici.
Se scambi quella riga con un'altra, possono succedere due cose: se prima $(-1)^{i+j}$ aveva un valore ora assume valore opposto, altrimenti, può accadere che cambiano le matrici ottenute cancellando la riga e la colonna corrispondenti, per cui cambiano di segno i determinanti delle sotto-matrici.
@bestplace: quello che forse ha frainteso è che se hai una matrice $A$ che ha determinante $det(A)$ e ne scambi una riga con un altra, ossia effettuando una trasformazione di tipo $H_(i,j)$ la matrice ottenuta $A'$ avrà determinante $det(A')=-det(A)$.
Questo però accade perchè $A'!=A$
Questo però accade perchè $A'!=A$
Ho capito Tipper,
mi ero un po incasinato con il determinante dell' identità 2x2, ma ho capito cosa succede
poi come mi ha fatto notare Dust, la matrice $A' != A$ e io che continuavo a dannarmi per quel meno
grazie a tutti e due
mi siete stati d'aiuto adesso posso andare avanti, ciao
mi ero un po incasinato con il determinante dell' identità 2x2, ma ho capito cosa succede
poi come mi ha fatto notare Dust, la matrice $A' != A$ e io che continuavo a dannarmi per quel meno
grazie a tutti e due
mi siete stati d'aiuto adesso posso andare avanti, ciao
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