Det se i seg. sottoinsiemi di $R^3$ sono sottosp.vettoriali
come determino se i seguenti sottoinsiemi di $R^3$ sono sottospazi vettoriali?
W1:={(x,y,z) $in$ $R^3$ \ x+y+z=1} , W2:={(x,y,z) $in$ $R^3$ \ x+y+2z=0}
Qualcuno sa dirmi da dove parto per un esercizio di questo tipo?
Se mi capita all'esame una cosa cosi' non so proprio come fare,sicuramente sarà semplice per chi la materia la conosce bene ,ma io ho un pò di difficoltà e ho bisogno di un'aiuto
Grazie
W1:={(x,y,z) $in$ $R^3$ \ x+y+z=1} , W2:={(x,y,z) $in$ $R^3$ \ x+y+2z=0}
Qualcuno sa dirmi da dove parto per un esercizio di questo tipo?
Se mi capita all'esame una cosa cosi' non so proprio come fare,sicuramente sarà semplice per chi la materia la conosce bene ,ma io ho un pò di difficoltà e ho bisogno di un'aiuto
Grazie
Risposte
considera due elementi generici dell'insieme e vedi se ogni loro combinazione lineare sta ancora nell'insieme... poi per essere sottospazio deve contenere l'origine...e il primo non la contiene quindi non è sottospazio...
il secondo invece lo è...
sono entrambi piani. il primo non passante per'origine mentre il secondo si.
il secondo invece lo è...
sono entrambi piani. il primo non passante per'origine mentre il secondo si.
scusami ma come faccio,la cosa che so è che un vettore v si sice combinazione lineare di v1,v2........vn se esistono scalari tali che lamda1*v1.........lamdan*vn
da questa definizione non riesco ad arrivare al procedimento
Spiegami con calma,ho bisogno di capire
da questa definizione non riesco ad arrivare al procedimento
Spiegami con calma,ho bisogno di capire
Consideriamo il sottoinsieme$ W2$ di $RR^3$ dato da $((x,y,z) in RR^3|x+y+2z=0 )$ e vediamo se oltre che sottoinsieme è anche sottospazio di $RR^3$.
Consideriamo come è "fatto " il generico vettore $w in W2$ .
Tenendo conto della relazione $x+y+2z=0 $ (quindi $y=-x-2z$) che lega le tre componenti di ogni vettore avremo che $w=(x,-x-2z,z)$.
OK ?
Adesso va verificato se ogni combinazione lineare di due vettori qualunque di $W2 $ appartiene ancora a $W2$.
Preferisco dividere in due parti la verifica :
1) verifico che la somma di due vettori qualunque di $W2$ appartenga ancora a $W2$ .
Sia $w1= (x_1,-x_1-2z_1,z_1)$
e $w_2 =(x_2,-x_2-2z_2,z_2)$
La loro somma $w_1+w_2=(x_1+x_2,-x_1-2z_1-x_2-2z_2,z_1+z_2) $ che riscrivo in modo più utile così :
$w_1+w_2= ((x_1+x_2), -(x_1+x_2)-2(z_1+z_2) ,(z_1+z_2)) $ .
Si vede che anche il vettore somma appartiene a $W2 $ perchè è "fatto " nella stessa maniera : la seconda componente è uguale alla prima cambiata di segno a cui è sottratta il doppio della terza componente etc.
2) va ancora verificato che il vettore prodotto di un qualunque vettore di $W2 $ per un qualunque numero reale $lambda$, cioè $lambda w = ( lambda x,-lambda(x+2z),lambdaz ) $ appartenga ancora a $W2$ e così è.
A questo punto soddisfatte le 2 condizioni, equivale a dire che ogni combinazione lineare di due vettori qualunque di $W2 $ appartiene ancora a $W2$.
Quindi $W2$ è sottospazio vettoriale di $RR^3$.
OK ?
Consideriamo come è "fatto " il generico vettore $w in W2$ .
Tenendo conto della relazione $x+y+2z=0 $ (quindi $y=-x-2z$) che lega le tre componenti di ogni vettore avremo che $w=(x,-x-2z,z)$.
OK ?
Adesso va verificato se ogni combinazione lineare di due vettori qualunque di $W2 $ appartiene ancora a $W2$.
Preferisco dividere in due parti la verifica :
1) verifico che la somma di due vettori qualunque di $W2$ appartenga ancora a $W2$ .
Sia $w1= (x_1,-x_1-2z_1,z_1)$
e $w_2 =(x_2,-x_2-2z_2,z_2)$
La loro somma $w_1+w_2=(x_1+x_2,-x_1-2z_1-x_2-2z_2,z_1+z_2) $ che riscrivo in modo più utile così :
$w_1+w_2= ((x_1+x_2), -(x_1+x_2)-2(z_1+z_2) ,(z_1+z_2)) $ .
Si vede che anche il vettore somma appartiene a $W2 $ perchè è "fatto " nella stessa maniera : la seconda componente è uguale alla prima cambiata di segno a cui è sottratta il doppio della terza componente etc.
2) va ancora verificato che il vettore prodotto di un qualunque vettore di $W2 $ per un qualunque numero reale $lambda$, cioè $lambda w = ( lambda x,-lambda(x+2z),lambdaz ) $ appartenga ancora a $W2$ e così è.
A questo punto soddisfatte le 2 condizioni, equivale a dire che ogni combinazione lineare di due vettori qualunque di $W2 $ appartiene ancora a $W2$.
Quindi $W2$ è sottospazio vettoriale di $RR^3$.
OK ?
......per ora seguendo il questo esempio mi è piu chiaro,imparo piu dal forum che non a lezione,Grazie
Ora me lo studiero un pochino e cerco di capire meglio su altri esempi
Grazie per questo che fate
Ora me lo studiero un pochino e cerco di capire meglio su altri esempi
Grazie per questo che fate
Seguendo lo stesso metodo che ho usato sopra prova a dimostrare che invece il sottoinsieme $W1$ di $RR^3$ non è un sottospazio di $RR^3$.
...per quanto riguarda questa W1:={(x,y,z) \ x+y+z=1} chiaramente procedo nella stessa maniera,seguitemi:
considero un vettore generico w =(x,y,z) cosiderando che x+y+z=1 y=1-x-z pertanto w= (x,1-x-z,z) fino a qua ci siamo?
ora verifico la somma di due vettori w1 e w2
w1+w2=(x1,1-x1-z1,z1) + (x2,1-x2-z2,z2)
= x1+x2 , 1-(x1+x2)-(z1+z2) , z1+z2 per la distibutività della somma
questo ottenuto ha la stessa forma di y=1-x-z pertanto la somma appartiene a W1
Ho sbagliato qualcosa per ora?
ora verifico il prodotto: w=(x,1-x-z,z)
$\lamda$*w =$\lamda$*(x,1-x-z,z)= $\lamda$X,$\lamda$-$\lamda$X-$\lamda$Z,$\lamda$Z
anche questo ha la stessa forma di y=1-x-z in base al mio ragionamento anche W1 è un sottospazio di $RR$^3 ,dove sbaglio?
considero un vettore generico w =(x,y,z) cosiderando che x+y+z=1 y=1-x-z pertanto w= (x,1-x-z,z) fino a qua ci siamo?
ora verifico la somma di due vettori w1 e w2
w1+w2=(x1,1-x1-z1,z1) + (x2,1-x2-z2,z2)
= x1+x2 , 1-(x1+x2)-(z1+z2) , z1+z2 per la distibutività della somma
questo ottenuto ha la stessa forma di y=1-x-z pertanto la somma appartiene a W1
Ho sbagliato qualcosa per ora?
ora verifico il prodotto: w=(x,1-x-z,z)
$\lamda$*w =$\lamda$*(x,1-x-z,z)= $\lamda$X,$\lamda$-$\lamda$X-$\lamda$Z,$\lamda$Z
anche questo ha la stessa forma di y=1-x-z in base al mio ragionamento anche W1 è un sottospazio di $RR$^3 ,dove sbaglio?
per W2 dalla relazione x+y+2z=0 nell'esempio vedo che Camillo ha ricavato y ad esempio cioè y=-x-2z
ma era possibile ricavare qualsiasi componente come ad es x?
ma era possibile ricavare qualsiasi componente come ad es x?
si hai sbagliatp per $W_1$ in quanto $1+1=2$...controlla bene la seconda componente del vettore somma
infatti è vero......ora ci sono grazie = x1+x2 , 2-(x1+x2)-(z1+z2) , z1+z2 giusto cosi?
"crimar":
per W2 dalla relazione x+y+2z=0 nell'esempio vedo che Camillo ha ricavato y ad esempio cioè y=-x-2z
ma era possibile ricavare qualsiasi componente come ad es x?
Certamente potevi ricavare la $x $ in funzione delle altre componeneti e nulla cambiava.
La cosa importante è notare che il sottospazio $W2 $ (abbiamo dimostrato che di sottospazio di $RR^3$ si tratta) ha dimensione $2 $ .Perchè ?
Hai tre variabili indipendenti $x,y,z$ legate da una relazione $x+2y+z =0 $ ; quindi il sottospazio è formato da $3-1=2 $ variabili indipendenti ed ha quindi dimensione $2$, come si vede anche da come ho scritto il generico vettore di $W2$, precisamnte $w=( x,-x-2z,z ) $ che dipende da due sole variabili $x, z $ .
Adesso come posso trovare una base( una base perchè ce ne sono infinite) di questo sottospazio ? sarà formata da due vettori .
Come li determino ?
ad es. assegnando per il primo vettore questi valori $x=1 ; z= 0 $ ottenendo il vettore $(1,-1,0)$
assegnando per il secondo vettore della base i valori $x=0 ; z=1 $ ottenenedo il vettore $( 0,-2,1)$.
Quini i vettori $(1,-1,0) ; (0,-2,1) $ sono una base e generano , con le loro combinazioni lineari tutti i vettori di $W2 $.
N.B. Nel cercare un vettore di una base potevo mettere invece che $x=1;z=0 $ anche $x=-27; z = 45 $ ma sarebbe stato meno comodo calcolare i valori .
Domanda per crimar relativa sempre allo stesso sottospazio $W2$ di $RR^3$ :
i vettori $(1,-3,1);(0,-2,1); (1,-1,0) $ sono una base ? sono dei generatori ?
"crimar":
infatti è vero......ora ci sono grazie = x1+x2 , 2-(x1+x2)-(z1+z2) , z1+z2 giusto cosi?
Adesso è corretto , quindi $W1 $ non è sottospazio di $RR^3$ : se un sottoinsieme ( di uno spazio vettoriale)non contiene il vettore nullo allora non è sottospazio .
In questo caso vedi che il vettore nullo non appartiene al sottoinsieme di vettore generico $(x,1-x-z,z)$ .
Nessun valore che tu dia a $x, z $ ti permette di ottenere il vettore nullo : se poni $x=z=0 $ ottieni il vettore $(0,1,0$.
Se poni $ x=z=1/2 $ otterrai il vettore $( 1/2,0,1/2)$ etc.
Per scrivere le formule gurda qui
https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html
...quindi all'esame riguardo ad un sottospazio puo' essere che mi venga chiesto anche QUAL E' LA SUA DIMENSIONE?
da quanto ho capito basta che vado a vedere quante sono le variabili in gioco del mio vettore w tenendo conto della relazione che avevo in partenza
w=(x,y,z) dalla relazione ricavo una variabile (indifferente quale) ,sotituisco e in base alle variabili che mi rimangono in gioco posso dire che quel sottospazio ha DIM esempio 2
comunque ora provo a ragionare un po sulla vostra spiegazione poi torno
da quanto ho capito basta che vado a vedere quante sono le variabili in gioco del mio vettore w tenendo conto della relazione che avevo in partenza
w=(x,y,z) dalla relazione ricavo una variabile (indifferente quale) ,sotituisco e in base alle variabili che mi rimangono in gioco posso dire che quel sottospazio ha DIM esempio 2
comunque ora provo a ragionare un po sulla vostra spiegazione poi torno
.............per CAMILLO,perchè dici che la base è formata da 2 vettori?
vedo che assegni dei valori ad x e z per il vettore w1 ottenendo (1,-1,0)
poi altri lavori a x e z per il vettore w2 ottenendo (0,-2,1)
domanda: perche non potresti assegnare altri valori ad un terzo vettore e dire quindi che la base è costituita da 3 vettori?
poi quando ho chiaro questo concetto provero a rispondere al tuo quesito
vedo che assegni dei valori ad x e z per il vettore w1 ottenendo (1,-1,0)
poi altri lavori a x e z per il vettore w2 ottenendo (0,-2,1)
domanda: perche non potresti assegnare altri valori ad un terzo vettore e dire quindi che la base è costituita da 3 vettori?
poi quando ho chiaro questo concetto provero a rispondere al tuo quesito
"crimar":
...quindi all'esame riguardo ad un sottospazio puo' essere che mi venga chiesto anche QUAL E' LA SUA DIMENSIONE?
da quanto ho capito basta che vado a vedere quante sono le variabili in gioco del mio vettore w tenendo conto della relazione che avevo in partenza
w=(x,y,z) dalla relazione ricavo una variabile (indifferente quale) ,sotituisco e in base alle variabili che mi rimangono in gioco posso dire che quel sottospazio ha DIM esempio 2
comunque ora provo a ragionare un po sulla vostra spiegazione poi torno
Esatto.
Una domanda molto frequente negli esercizi è, di un certo sottospazio, determinare Dimensione e una Base.
"crimar":
.............per CAMILLO,perchè dici che la base è formata da 2 vettori?
vedo che assegni dei valori ad x e z per il vettore w1 ottenendo (1,-1,0)
poi altri lavori a x e z per il vettore w2 ottenendo (0,-2,1)
domanda: perche non potresti assegnare altri valori ad un terzo vettore e dire quindi che la base è costituita da 3 vettori?
poi quando ho chiaro questo concetto provero a rispondere al tuo quesito
Il sottospazio in oggetto ha 2 variabili libere ($x,z) $ , quindi ha dimensione 2, il che vuol dire che una base sarà costituita da 2 vettori linearmente indipendenti le cui combinazioni lineari genereranno tutti i vettori del sottospazio.
Sarebbe ben che tu dessi un'occhiata e forse qualcosa di più...
alla teoria ; è una parte molto importante che bisogna avere chiara per andare avanti bene .Che CdL segui e dove ?
Pensa adesso allo spazio vettoriale $RR^2 $ che puoi rappresentare geometricamente come il foglio ( =il piano ) su cui lavori/disegni.
Fissa su questo piano un sistema (ad es. ) di coordinate cartesiane ortogonali e fissa l'unità di misura ( un segmentino che tu battezzi essere di lunghezza unitaria).
A questo punto hai stabilito una corrispondenza biunivoca tra coppie ordinate di numeri reali e punti del piano.
Infatti considero una coppia ordinata di numeri reali , sia $(a,b)$ ; ad essa corrisponde nel piano uno e un solo punto P di ascissa $a$ e di ordinata $b $ .Ecco perchè si dice coppia ordinata , infatti la coppia $(b,a)$ identifica un altro punto di ascissa $b $ e di ordinata $a $.
D'altro canto considero nel piano un punto Q =$(c,d )$ di ascissa $c $ e ordinata $d $ ; ad esso corrisponde una e una sola coppia ordinata di numeri reali, appunto $(c,d)$.
Quindi la corrispondenza è biunivoca.
[size=150]I vettori identificati dalle coppie ordinate li puoi vedere come i vettori $vec(OP )$ e $vec (OQ )$.[/size]
Per comodità chiamo $v=vec(OP)=(a,b)$ ; $u=vec(OQ)=(c,d)$.
Adesso chiediamoci lo spazio vettoriale $RR^2 $ che dimensione ha ? Io dico 2 ; infatti se considero 2 vettori del piano linearmente indipendenti ( che non siano cioè multipli l'uno dell'altro) e li combino linearmente in tutti i modi possibili ( cioè moltiplico ogni vettore per uno scalare qualunque e poi sommo i vettori così ottenuti otterrò , con la regola del parallelogramma , tutti i vettori del piano.
Avrò quindi fatto questa operazione $w= alpha u+betav $ con $alpha, beta in RR$.
Una base semplice , anzi vien detta canonica di $RR^2$ è data dai due vettori $(1,0),(0,1) $ .
Rappresenta i due vettori nel sistema cartesiano , e anche solo graficamente è chiaro che se io moltiplico ciascuno di essi per un qualsiaisi numero reale e poi li sommo ottengo qualunque vettore di $RR^2$.
I due vettori menzionati sono una base di $RR^2$ perchè
*sono 2 e la dimensione dello spazio è 2
*sono lineramente indipendenti
che siano lin indip lo si vede facilemnte ad es affiancando in una matrice i due vettori in colonna $((1,0),(0,1)) $ : la matrice ha rango 2.
oppure applicando la definizione di vettori lin indip che dice : $n $ vettori sono lin indip se e solo se la loro combinazione lineare che produce il vettore nullo è soltanto quella con coefficienti di proporzionalità tutti nulli.
Nel caso : $alpha(1,0)+beta(0,1) =vec0 =(0,0 )$ da cui $alpha=beta=0 $ e quindi son lin indip.
Ma anche i due vettori ad es . $(3,5),(6,8)$ sono lin indip e sono una base di $RR^2$.
Invece i vettori $(3,5),(6,10)$ non sono una base perchè lin dipendenti e generano solo una retta e non tutto il piano.
E se considero 3 vettori ? non potranno essere una base perchè uno di loro sarà combinazione lineare degli altri ma , se scelti opportunamente generano tutto $RR^2$.
Ad esempio sono generatori $(3,5),(6,8) ,(1,0)$ MA NON SONO UNA BASE.
OK ?
@ crimar : ti è tutto chiaro ? chiedi pure se qualcosa non ti torna 
.........purtroppo non sono appena diplomato,ho finito le scuole superiori nel 94/95 pertanto credo sia normale fare un po di riuggine,aggiungo anche che devo conciliare lavoro e studio pertanto non mi è semplice rispondere e capire tutto in breve tempo........sto provando l'università CDL in Informatica........questo interesse è derivato dalla curiosità di capire come funzionano le cose in rete ,su un pc,come con un pc stando a casa è possibile fare moltissime cose ecc......... Il libro sul quale studio la teoria sembra essere scritto per chi la materia la conosce già,diciamo che fa schifo,soldini buttati.......secondo me un buon libro deve non solo darti il risultato di un passaggio specificando che tale passaggio è ovvio ma bensi' deve farti capire il perche di quella determinata cosa,mi spiego? sono infatti molto chiare e mi sono di notevole aiuto le vostre riposte ed esempi che mi proponete su questo forum.......... Tralaltro i miei dubbi e quesiti possono essere utili anche agli altri membri del forum
Ringrazio comunque tutti per la pazienza e disponibilità
Vi ammiro
Ringrazio comunque tutti per la pazienza e disponibilità
Vi ammiro
Capisco... non sarà un percorso facile .
In bocca al lupo
Ti possono aiutare queste esercitazioni disponibili in rete e segnalate da turtle87:
http://www.science.unitn.it/~carrara/ES ... unisci.pdf
Purtroppo è vero certi testi vanno benissimo se già conosci la materia.
Che testo ti hanno consigliato ?
In bocca al lupo
Ti possono aiutare queste esercitazioni disponibili in rete e segnalate da turtle87:
http://www.science.unitn.it/~carrara/ES ... unisci.pdf
Purtroppo è vero certi testi vanno benissimo se già conosci la materia.
Che testo ti hanno consigliato ?
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