Descrizione generica base Mat2x2
Buonasera a tutti, vi posto un esercizi che ho incontrato sulle basi.
Non so se ho inteso bene l'esercizio, ma posto una mia risoluzione.
Ciò che ho inteso è: ''come costruisco da 0 una base qualsiasi di una matrice 2x2?''
Risoluzione:
Sia A una matrice 2x2.
\(A = \begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix}\)
Essendo la dimensione di A = 4, ho bisogno di 4 vettori [latex]\{v1, v2, v3, v4\}[/latex] per descriverla. Per definizione di base, ho bisogno di due cose:
1) che la combinazione lineare sia indipendente
2) che i vettori siano generatori di A, cioè che [latex]Span \{v1, v2, v3, v4\} = 4[/latex]
Inizio dalla prima:
la combinazione lineare indipendente corrisponde a:
\(a\begin{pmatrix} x1&x2\\ x3&x4 \end{pmatrix}+b\begin{pmatrix} x5&x6\\ x7&x8 \end{pmatrix}+c\begin{pmatrix} x9&x10\\ x311&x12 \end{pmatrix}+d\begin{pmatrix} x13&x14\\ x15&x16 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0&0\\ 0&0 \end{pmatrix}\)
Che corrisponde al sistema:
\(\begin{cases} ax1+bx5+cx9+dx13 = 0 \\ ax2+bx6+cx10+dx14 = 0 \\ ax3+bx7+cx11+dx15= 0 \\ ax4+bx8+cx12+dx16=0\end{cases}\)
In forma matriciale:
\(\begin{pmatrix} 1&1&1&1&0\\1&1&1&1&0 \end{pmatrix}\)
Risolta, si verifica il fatto che sia indipendente poichè:
\(\begin{cases} a= 0 \\ b= 0 \\ c= 0 \\ d=0\end{cases}\)
Per la proprietà della base: se dim(A)=n e ho n vettori indipendenti, allora quei vettori costituiscono una base. La proprietà è verificata e quindi quei vettori costituiscono la base.
Il problema è che non so se ho interpretato l'esercizio e/o non l'ho fatto correttamente. Ringrazio tutti in anticipo.
Descrivere una base delle spazio vettoriale delle matrici 2×2 a coefficienti reali.
Non so se ho inteso bene l'esercizio, ma posto una mia risoluzione.
Ciò che ho inteso è: ''come costruisco da 0 una base qualsiasi di una matrice 2x2?''
Risoluzione:
Sia A una matrice 2x2.
\(A = \begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix}\)
Essendo la dimensione di A = 4, ho bisogno di 4 vettori [latex]\{v1, v2, v3, v4\}[/latex] per descriverla. Per definizione di base, ho bisogno di due cose:
1) che la combinazione lineare sia indipendente
2) che i vettori siano generatori di A, cioè che [latex]Span \{v1, v2, v3, v4\} = 4[/latex]
Inizio dalla prima:
la combinazione lineare indipendente corrisponde a:
\(a\begin{pmatrix} x1&x2\\ x3&x4 \end{pmatrix}+b\begin{pmatrix} x5&x6\\ x7&x8 \end{pmatrix}+c\begin{pmatrix} x9&x10\\ x311&x12 \end{pmatrix}+d\begin{pmatrix} x13&x14\\ x15&x16 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0&0\\ 0&0 \end{pmatrix}\)
Che corrisponde al sistema:
\(\begin{cases} ax1+bx5+cx9+dx13 = 0 \\ ax2+bx6+cx10+dx14 = 0 \\ ax3+bx7+cx11+dx15= 0 \\ ax4+bx8+cx12+dx16=0\end{cases}\)
In forma matriciale:
\(\begin{pmatrix} 1&1&1&1&0\\1&1&1&1&0 \end{pmatrix}\)
Risolta, si verifica il fatto che sia indipendente poichè:
\(\begin{cases} a= 0 \\ b= 0 \\ c= 0 \\ d=0\end{cases}\)
Per la proprietà della base: se dim(A)=n e ho n vettori indipendenti, allora quei vettori costituiscono una base. La proprietà è verificata e quindi quei vettori costituiscono la base.
Il problema è che non so se ho interpretato l'esercizio e/o non l'ho fatto correttamente. Ringrazio tutti in anticipo.
Risposte
Invece dei tag [latex] che qui non sono riconosciuti, usa Math Jax: clicca su [formule][/formule] per istruzioni.
"dissonance":
Invece dei tag [latex] che qui non sono riconosciuti, usa Math Jax: clicca su [formule][/formule] per istruzioni.
Fatto, mi scuso per l'errore.
Ma quali sono questi vettori, alla fine? Che base hai trovato?
"dissonance":
Ma quali sono questi vettori, alla fine? Che base hai trovato?
Eh, il problema è che non capendo l'esercizio, non ho capito cosa voleva. Io ho descritto in maniera generale la base appartenente a Mat2x2..
Vabbè, ma riesci a scrivere quattro matrici che formano una base o no? Se non ci riesci, non hai fatto niente.
"dissonance":
Vabbè, ma riesci a scrivere quattro matrici che formano una base o no? Se non ci riesci, non hai fatto niente.
Non dovrei risolvere un sistema di questo tipo?
\(\begin{cases} ax1+bx5+cx9+dx13 = A \\ ax2+bx6+cx10+dx14 = B \\ ax3+bx7+cx11+dx15= C \\ ax4+bx8+cx12+dx16=D\end{cases}\)
E ricavare i coefficienti di combinazioni a,b,c,d?
Ma no, ti stai incaponendo in una cosa più grande del necessario, e tra l'altro priva di senso. Il testo ti chiede di scrivere una base di quello spazio, non di trovarle tutte.
Quello che hai fatto non serve a niente. Se pensi di avere trovato tutte le basi di quello spazio, dovresti poter scrivere una base esplicita. Se davvero le avessi trovate tutte, basterebbe sceglierne una, no? Se non riesci a sceglierne una è perché hai fatto chissà che cosa, ma comunque qualcosa privo di senso.
(Ma poi, come si fa a trovare tutte le basi di uno spazio vettoriale? Non si può, lascia stare.)
Butta via tutto e ricomincia daccapo. Io consiglio di cominciare a notare che
\[
\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} +\begin{bmatrix} 0 & b \\ 0 & 0 \end{bmatrix} +\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ c & 0 \end{bmatrix} +\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & d \end{bmatrix} .\]
Quello che hai fatto non serve a niente. Se pensi di avere trovato tutte le basi di quello spazio, dovresti poter scrivere una base esplicita. Se davvero le avessi trovate tutte, basterebbe sceglierne una, no? Se non riesci a sceglierne una è perché hai fatto chissà che cosa, ma comunque qualcosa privo di senso.
(Ma poi, come si fa a trovare tutte le basi di uno spazio vettoriale? Non si può, lascia stare.)
Butta via tutto e ricomincia daccapo. Io consiglio di cominciare a notare che
\[
\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} +\begin{bmatrix} 0 & b \\ 0 & 0 \end{bmatrix} +\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ c & 0 \end{bmatrix} +\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & d \end{bmatrix} .\]
"dissonance":
Ma no, ti stai incaponendo in una cosa più grande del necessario, e tra l'altro priva di senso. Il testo ti chiede di scrivere una base di quello spazio, non di trovarle tutte.
Quello che hai fatto non serve a niente. Se pensi di avere trovato tutte le basi di quello spazio, dovresti poter scrivere una base esplicita. Se davvero le avessi trovate tutte, basterebbe sceglierne una, no? Se non riesci a sceglierne una è perché hai fatto chissà che cosa, ma comunque qualcosa privo di senso.
(Ma poi, come si fa a trovare tutte le basi di uno spazio vettoriale? Non si può, lascia stare.)
Butta via tutto e ricomincia daccapo. Io consiglio di cominciare a notare che
\[
\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} +\begin{bmatrix} 0 & b \\ 0 & 0 \end{bmatrix} +\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ c & 0 \end{bmatrix} +\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & d \end{bmatrix} .\]
Ciao e grazie per l'input!
Si ho sbagliato ovviamente l'esercizio perché non avevo capito cosa voleva. Siccome mi hai fatto l'esempio con la base canonica, allora ho provato ad inventarmi dei vettori e poi svolgere l'esercizio. Posto la risoluzione:
Devo creare una base tale che generi una matrice 2x2; le matrici 2x2 hanno dimensione 4 poiché nelle matrici la dimensione [strike]può[/strike] coincide con il rango (quindi col numero di pivot).
Siano v1,v2,v3,v4 i seguenti vettori:
\(v1 = \begin{pmatrix} 1\\ 2 \\3\\0\end{pmatrix}\) \(v2 = \begin{pmatrix} 0\\2\\4\\1 \end{pmatrix}\) \(v3 = \begin{pmatrix} 1\\1\\1\\0 \end{pmatrix}\) \(v4 = \begin{pmatrix} 6\\1\\-1\\3 \end{pmatrix}\)
La combinazione lineare sarà del tipo:
a* \( \begin{pmatrix} 1\\ 2 \\3\\0\end{pmatrix}\) + b* \( \begin{pmatrix} 0\\2\\4\\1 \end{pmatrix}\) + c* \( \begin{pmatrix} 1\\1\\1\\0 \end{pmatrix}\) + d* \( \begin{pmatrix} 6\\1\\-1\\3 \end{pmatrix}\) = \(\begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix}\)
Verifichiamo la dipendenza impostando la seguente matrice:
\(A = \begin{pmatrix} 1&0&1&6&0\\ 2&2&1&1&0 \\3&4&1&-1&0 \\ 0&1&0&3&0 \end{pmatrix}\)
Ridotta:
\(A(rid) = \begin{pmatrix} 3&4&1&-1&0\\ 0&4&-2&-19&0 \\0&0&-2&-31&0 \\ 0&0&0&-9&0 \end{pmatrix}\)
Equivale a:
\(\begin{cases} a= 0 \\ b= 0 \\ c= 0 \\ d=0\end{cases}\)
Quindi i vettori sono indipendenti; il rango corrisponde a 4 quindi la dimensione è 4. Essendo dim(A)=rank(A), i vettori costituiscono una base. Quest'ultima è costituita da:
\begin{cases}\begin{pmatrix} 1\\ 2 \\3\\0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\2\\4\\1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\1\\1\\0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6\\1\\-1\\3 \end{pmatrix}\end{cases}\
Ma non confondere vettori e matrici. Quei vettori $4\times 1$ sono solo le *coordinate* delle matrici rispetto alla base canonica. Sarebbe molto meglio se scrivessi il risultato finale in termini di matrici e non lo lasciassi così.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo