Descrizione e dimensione di b(im(a)) e a^-1ker((b)) ed altri
Ciao a tutti,
ho difficoltà (non sò da dove partire) nel descrivere (calcolare)e determinare la dmensione delle seguenti:
Conosco:
$\alpha$ = $((1,-1,0),(1,1,2),(1,1,2),(0,1,1))$
$\beta$ = $((1,0,1,-4),(0,1,0,-3),(1,1,1,-7),(1,-1,1,-1))$
ho trovato il Ker($\beta$) che è composto dalle seguenti due equazioni:
1. $x_1$+$x_3$-4$x_4$ = 0
2. $x_2$-3$x_4$ = 0
e l'immagine di $\alpha$ che è:
Im($\alpha$) = L($((1),(1),(1),(0))$ , $((-1),(1),(1),(1))$
Le domande sono:
a. descrivere $\alpha^-1$(Ker($\beta$)) e descrivere $\beta$(Im($\alpha$))
b. posto P=(1,-1,0,3); L= L=(1,-1,0)+L(1,1,0) ; S=(1,1,0)+L((1,-1,0),(0,0,1))
Calcolare:
b1.dim($\alpha^-1$($\beta^-1$(P))) ,
b2.dim($\beta$($\alpha$(L))
b3.dim($\beta$($\alpha$(S))
ho difficoltà (non sò da dove partire) nel descrivere (calcolare)e determinare la dmensione delle seguenti:
Conosco:
$\alpha$ = $((1,-1,0),(1,1,2),(1,1,2),(0,1,1))$
$\beta$ = $((1,0,1,-4),(0,1,0,-3),(1,1,1,-7),(1,-1,1,-1))$
ho trovato il Ker($\beta$) che è composto dalle seguenti due equazioni:
1. $x_1$+$x_3$-4$x_4$ = 0
2. $x_2$-3$x_4$ = 0
e l'immagine di $\alpha$ che è:
Im($\alpha$) = L($((1),(1),(1),(0))$ , $((-1),(1),(1),(1))$
Le domande sono:
a. descrivere $\alpha^-1$(Ker($\beta$)) e descrivere $\beta$(Im($\alpha$))
b. posto P=(1,-1,0,3); L= L=(1,-1,0)+L(1,1,0) ; S=(1,1,0)+L((1,-1,0),(0,0,1))
Calcolare:
b1.dim($\alpha^-1$($\beta^-1$(P))) ,
b2.dim($\beta$($\alpha$(L))
b3.dim($\beta$($\alpha$(S))
Risposte
Per il punto a.
$alpha^{-1}(ker(beta))$, per definizione di controimmagine, è esattamente ${x in K^3 | alpha(x) in Ker(beta)}$. Ma $ker(beta)$ sappiamo chi è, l'hai trovato prima. Quindi prendi un vettore generico $(x_1, x_2, x_3)$ di $K^3$, scrivi $alpha ((x_1), (x_2), (x_3))$ e imposta che appartenga a $Ker(beta)$
Poiché $Im(alpha) = Span<((1), (1), (1), (0)), ((-1), (1), (1), (1))>$, sarà $beta(Im(alpha))$ = spazio generato dalle immagini di $((1), (1), (1), (0))$ e $((-1), (1), (1), (1))$ tramite $beta$, cioè $Span$
Per il punto b.
Non sono sicuro di avere capito bene chi sono P, L, S. Intendi $P=(1,-1,0,3)$ (il punto) o $P=Span<(1,-1,0,3)>$ (lo spazio vettoriale generato)? E per L e S, sono spazi affini o vettoriali? Cioè $L=(1,-1,0)+Span<(1,1,0)>$ o $L=Span<(1,-1,0), (1,1,0)>$?
$alpha^{-1}(ker(beta))$, per definizione di controimmagine, è esattamente ${x in K^3 | alpha(x) in Ker(beta)}$. Ma $ker(beta)$ sappiamo chi è, l'hai trovato prima. Quindi prendi un vettore generico $(x_1, x_2, x_3)$ di $K^3$, scrivi $alpha ((x_1), (x_2), (x_3))$ e imposta che appartenga a $Ker(beta)$
Poiché $Im(alpha) = Span<((1), (1), (1), (0)), ((-1), (1), (1), (1))>$, sarà $beta(Im(alpha))$ = spazio generato dalle immagini di $((1), (1), (1), (0))$ e $((-1), (1), (1), (1))$ tramite $beta$, cioè $Span
Per il punto b.
Non sono sicuro di avere capito bene chi sono P, L, S. Intendi $P=(1,-1,0,3)$ (il punto) o $P=Span<(1,-1,0,3)>$ (lo spazio vettoriale generato)? E per L e S, sono spazi affini o vettoriali? Cioè $L=(1,-1,0)+Span<(1,1,0)>$ o $L=Span<(1,-1,0), (1,1,0)>$?
grazie mille per la risposta molto chiara.
mi scuso per non essere stata abbastanza chiara:
P è il punto (1,-1,0,3)
mentre L é:
L=(1,-1,0)+ Span <(1,1,0)>.
Per arrivare a capire bene la tua risposta del punto a. mi scriveresti, gentilmente, come vengono alla fine???
mi scuso per non essere stata abbastanza chiara:
P è il punto (1,-1,0,3)
mentre L é:
L=(1,-1,0)+ Span <(1,1,0)>.
Per arrivare a capire bene la tua risposta del punto a. mi scriveresti, gentilmente, come vengono alla fine???
dovrebbero tornare:
$alpha^{-1}(Ker(beta)) = Span<((2), (1), (0)), ((1), (0), (1))>$ (la condizione su $((x_1), (x_2), (x_3))$ da cui deriva ciò è $x_1 = 2x_2 + x_3$)
per $beta(Im(alpha))$, mi viene che $beta((1), (1), (1), (0))=((2), (1), (3), (1))$ e $beta((-1), (1), (1), (1))=((-4), (-2), (-6), (-2))$, perciò è $beta(Im(alpha))=Span<((2), (1), (3), (1)), ((-4), (-2), (-6), (-2))>$, che altro non è che $Span<((2), (1), (3), (1))>$
$alpha^{-1}(Ker(beta)) = Span<((2), (1), (0)), ((1), (0), (1))>$ (la condizione su $((x_1), (x_2), (x_3))$ da cui deriva ciò è $x_1 = 2x_2 + x_3$)
per $beta(Im(alpha))$, mi viene che $beta((1), (1), (1), (0))=((2), (1), (3), (1))$ e $beta((-1), (1), (1), (1))=((-4), (-2), (-6), (-2))$, perciò è $beta(Im(alpha))=Span<((2), (1), (3), (1)), ((-4), (-2), (-6), (-2))>$, che altro non è che $Span<((2), (1), (3), (1))>$
Fai attenzione a come ti esprimi...non esiste la dimensione di una matrice...
Prima tre lemmini semplici semplici, per appurare alcuni fatti di base:
1) Considera $X, Y, Z$ insiemi, e $f:X->Y$ e $g:Y->Z$ funzioni. Si ha $(g @ f)(A)=g(f(A))$, dove $A sube X$ (l'immagine tramite g composto f di A è uguale all'immagine tramite g dell'immagine tramite f di A), e $(g @ f)^{-1}(C)=f^{-1}(g^{-1}(C))$, dove $C sube Z$ (analoga cosa, ma per le controimmagini).
2) Se $f:V->W$ è un'applicazione lineare, la controimmagine di un punto P è l'insieme vuoto se P non appartiene all'immagine di f (se non è nell'immagine, P non è raggiungibile da f), mentre ha dimensione pari a $dim(Ker(f))$ se P è nell'immagine (cioè se P è raggiungibile da f)
3) Se $f$ e $g$ sono due applicazioni lineari che puoi comporre, $Ker(g@f)=f^{-1}(Ker(g))$. Prova a dimostrarlo!
Il punto b.1 ti chiede $alpha^{-1}(beta^{-1}(P))$, che per quanto detto al lemmino 1, è proprio $(beta @ alpha)^{-1}(P)$. Per quanto detto dal lemmino 2, bisogna innanzitutto vedere se P appartenente all'immagine di $beta @ alpha$ o no. Ma il punto a.1 ti dice proprio chi è immagine di $beta @ alpha$: $Span<(2, 1, 3, 1)>$ ...P non ci sta!
Quindi la risposta al punto b.1 è $alpha^{-1}(beta^{-1}(P))=O/$ (alcuni dicono che ha dimensione -1, altri non attribuiscono alcuna dimensione all'insieme vuoto)
1) Considera $X, Y, Z$ insiemi, e $f:X->Y$ e $g:Y->Z$ funzioni. Si ha $(g @ f)(A)=g(f(A))$, dove $A sube X$ (l'immagine tramite g composto f di A è uguale all'immagine tramite g dell'immagine tramite f di A), e $(g @ f)^{-1}(C)=f^{-1}(g^{-1}(C))$, dove $C sube Z$ (analoga cosa, ma per le controimmagini).
2) Se $f:V->W$ è un'applicazione lineare, la controimmagine di un punto P è l'insieme vuoto se P non appartiene all'immagine di f (se non è nell'immagine, P non è raggiungibile da f), mentre ha dimensione pari a $dim(Ker(f))$ se P è nell'immagine (cioè se P è raggiungibile da f)
3) Se $f$ e $g$ sono due applicazioni lineari che puoi comporre, $Ker(g@f)=f^{-1}(Ker(g))$. Prova a dimostrarlo!
Il punto b.1 ti chiede $alpha^{-1}(beta^{-1}(P))$, che per quanto detto al lemmino 1, è proprio $(beta @ alpha)^{-1}(P)$. Per quanto detto dal lemmino 2, bisogna innanzitutto vedere se P appartenente all'immagine di $beta @ alpha$ o no. Ma il punto a.1 ti dice proprio chi è immagine di $beta @ alpha$: $Span<(2, 1, 3, 1)>$ ...P non ci sta!
Quindi la risposta al punto b.1 è $alpha^{-1}(beta^{-1}(P))=O/$ (alcuni dicono che ha dimensione -1, altri non attribuiscono alcuna dimensione all'insieme vuoto)
"Lorin":
Fai attenzione a come ti esprimi...non esiste la dimensione di una matrice...
ehm...dove è stato detto?
"cocochanel":
Ciao a tutti,
ho difficoltà (non sò da dove partire) nel descrivere (calcolare)e determinare la dmensione delle seguenti:
Conosco:
$\alpha$ = $((1,-1,0),(1,1,2),(1,1,2),(0,1,1))$
$\beta$ = $((1,0,1,-4),(0,1,0,-3),(1,1,1,-7),(1,-1,1,-1))$
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