Derivazione di Tensori

[Clorinda1]

Buonasera a tutti, mi servirebbe la conferma della correttezza di una affermazione che ora vado a enunciare e dimostrare:

Affermazione: la derivata di un tensore non è in generale un tensore ( parlo proprio di derivata, non di derivata covariante! )

Dimostrazione: dato [tex]T^i[/tex] un tensore una volta controvariante che quindi si trasforma mediante la seguente formula:
[tex]T^{'i}=\frac{\partial x^k}{\partial x^{'i}}T^k[/tex] (1)

derivando si ottiene

[tex]\partial_h T^{'i}=\frac{\partial x^k}{\partial x^{'i}}\partial_h T^k +\frac{\partial^2 x^h}{\partial x^{'i}\partial x^k}T^k[/tex]

Al secondo membro della formula appaiono le derivate seconde che fanno sì che [tex]\partial_h T^{'i}[/tex] non si trasformi mediante la stessa legge di [tex]T^i[/tex]o mediante altre relazioni tensoriali note ( che sono poi un'estensione della (1) )

Ammesso che ciò che ho scritto sopra sia corretto, le problematiche che sorgono ora sono:

1) ha senso andare a scomporre [tex]\frac{\partial^2 x^h}{\partial x^{'i}\partial x^k}[/tex] nella sua parte tangente e in quella normale alla varietà e poi considerare solo la prima delle due perché è l'unica che preserva il carattere "tangente" di [tex]T^i[/tex]?
2) che differenza c'è tra il punto 1) e l'usuale definizione di derivata covariante di un tensore che per definizione (?) restituisce un tensore?

Sperando di avere azzeccato il ragionamento, vi ringrazio per l'eventuale conferma o s-conferma che mi vorrete dare!

[david_e1]

La formula mi pare sbagliata. Penso dovrebbe essere:

$ T'^{i} = (\partial x'^{i})/(\partial x^k) T^k $

quindi derivando si ottiene:

$ (\partial T'^i)/(\partial x^j) = (\partial x'^{i})/(\partial x^k) (\partial T^k)/(\partial x^j) + (\partial^2 x'^i)/(\partial x^j \partial x^k) T^k $. (1)

Per il resto:

1) Sinceramente non mi e' chiaro cosa intendi dire con spezzare $(\partial^2 x'^i)/(\partial x^j \partial x^k)$ in componenti tangenti e normali. Io non credo che si possa parlare di "componenti normali" alla varieta': dato un punto non credo che uno possa costruire uno spazio vettoriale normale in maniera intrinseca alla varieta'. Anche perche' per farlo credo che l'unica sia immergere la varieta' in un qualche $RR^N$ a scelta (con $N$ abbastanza grande...) e completare lo spazio tangente: quello che si ottiene e' sicuramente non unico ne intrinseco alla varieta'...

2) La (1) comunque e' una legge di trasformazione di un oggetto (che non e' un tensore) rispetto ad un cambio di coordinate, non puo' essere interpretato come definizione di una derivazione.

[Clorinda1]

Credo che ci sia stato un fraintendimento: nel punto 2) del mio elenco io scrivo " che differenza c'è tra il punto 1) e.." riferendomi al punto 1 dell'elenco; invece se tu dici " La (1) comunque e' una legge di trasformazione di un oggetto (che non e' un tensore*) rispetto ad un cambio di coordinate, non puo' essere interpretato come definizione di una derivazione" mi sembra che tu stia riferendo alla formula ( che ho indicato con (1)) e che è effettivamente una trasformazione e a priori non ha nulla a che fare con una derivazione. Io invece chiedevo se il procedimento al punto 1) possa essere in qualche modo avvicinato alla definizione di derivata covariante, indipendentemente dal fatto che si parli di tensori e relative leggi di trasformazioni. Spero di essermi spiegata.

Al di là di questo possibile "fraintendimento" sto riflettendo sul punto 1) del tuo elenco e vorrei togliermi una curiosità: se io sostituissi al termine "varietà" il termine "superficie" le cose funzionerebbero meglio?



[size=75]* tralaltro, perché l'oggetto non è un tensore? Cioè, non è necessariamente un tensore, ovvero non è detto che per forza sia un tensore, ma potrebbe esserlo, o no?[/size]

[Clorinda1]

Aggiungo qui un'altra domanda che mi è sorta adesso:

affermare che la derivata non è definita in modo intrinseco significa dire che, se ad esempio la varietà fosse immersa in [tex]R^n[/tex], la sua derivata dipende dalle coordinate di [tex]R^{n+1}[/tex] ?

Grazie per la pazienza, attendo lumi!

[david_e1]

"Clorinda":Credo che ci sia stato un fraintendimento: nel punto 2) del mio elenco io scrivo " che differenza c'è tra il punto 1) e.." riferendomi al punto 1 dell'elenco; invece se tu dici " La (1) comunque e' una legge di trasformazione di un oggetto (che non e' un tensore*) rispetto ad un cambio di coordinate, non puo' essere interpretato come definizione di una derivazione" mi sembra che tu stia riferendo alla formula ( che ho indicato con (1)) e che è effettivamente una trasformazione e a priori non ha nulla a che fare con una derivazione. Io invece chiedevo se il procedimento al punto 1) possa essere in qualche modo avvicinato alla definizione di derivata covariante, indipendentemente dal fatto che si parli di tensori e relative leggi di trasformazioni. Spero di essermi spiegata.

Mi riferivo alla formula (1) del mio post, che era più o meno quanto ho capito del punto 1) del tuo... scusa la confusione!

"Clorinda":Al di là di questo possibile "fraintendimento" sto riflettendo sul punto 1) del tuo elenco e vorrei togliermi una curiosità: se io sostituissi al termine "varietà" il termine "superficie" le cose funzionerebbero meglio?

OK, forse ho capito a cosa ti riferivi (anche se ancora mi sfugge cosa centri il termine $\frac{\partial x'^{i}}{\partial x^j \partial x^k}$...): nel caso di superfici in $RR^3$, ad esempio, la derivata covariante di un vettore $X$ rispetto ad un altro vettore $Y$ si può anche ricavare semplicemente facendo la derivata in $RR^3$ di $X$ in direzione $Y$ e proiettando il vettore risultante sul piano tangente alla superficie. La connessione in questo caso dovrebbe dipendere da come la superficie è immersa in $RR^3$ (*)...

"Clorinda":[size=75]* tralaltro, perché l'oggetto non è un tensore? Cioè, non è necessariamente un tensore, ovvero non è detto che per forza sia un tensore, ma potrebbe esserlo, o no?[/size]

A parte il caso $T^k = 0$, in tutti gli altri casi $\partial_j T^{i}$ non si trasforma come un tensore, quindi non può essere un tensore (una delle definizioni equivalenti di tensore è quella di n-upla di numeri che si trasforma con una certa regola rispetto al cambio di coordinate).

"Clorinda":affermare che la derivata non è definita in modo intrinseco significa dire che, se ad esempio la varietà fosse immersa in $R^n$, la sua derivata dipende dalle coordinate di $R^{n+1}$ ?

Non credo: in modo intrinseco di solito significa che dipende unicamente dalle proprietà geometriche della varietà e non dall'ambiente in cui è eventualmente immersa. Ad esempio lo spazio tangente in un punto è un concetto intrinseco, mentre il vettore normale in un punto non lo è: la stessa varietà 2-dimensionale la posso immergere in $RR^3$ come superfici differenti, basta che siano diffeomorfe.

*** EDIT ***
(*) Intendo dire che la connessione che si trova dipende dalla geometria estrinseca della superficie (vedi discorso su intrinseco / estrinseco). Se non sbaglio nel caso in cui si doti la superficie di una metrica indotta da quella di $RR^3$ si dovrebbe ritrovare la connessione di Levi-Civita.

[Clorinda1]

Ok, sto iniziando a chiarirmi le idee;

Mi sono convinta del fatto che la derivata di un tensore non è un tensore perché non si trasforma com un tensore. E fin qui ci sono.

Invece, per quanto riguarda la derivata covariante, tu scrivi che :"ad esempio, la derivata covariante di un vettore [tex]X[/tex]rispetto ad un altro vettore [tex]Y[/tex]si può anche ricavare semplicemente facendo la derivata in [tex]R^3[/tex] di [tex]X[/tex] in direzione [tex]Y[/tex] e proiettando il vettore risultante sul piano tangente alla superficie"

Provo a formulare un esempio: siano dati i campi vettoriali $X,Y$ tali che $ X=\sum_{i=i}^n X^{i}\frac{\partial}{\partial x^{i}}$ e $Y=\sum_{j=i}^n Y^{j}\frac{\partial}{\partial x^{j}}$, l'espressione in coordinate locali della connessione [tex]\nabla_{X}Y[/tex](derivata covariante di Y nella direzione di X ) é: $\nabla_{X}\sum_{j=i}^n Y^{j}\frac{\partial}{\partial x^{j}}= $$

[tex]=\sum_{i,j=1}^n[X(Y^{j})\frac{\partial}{\partial x^{i}}+Y^{i}\nabla_{X}][/tex]

dove si ha che: $\nabla_{X}\frac{\partial}{\partial x^{j}}=\sum_{i=1}^{n}X^{i}\nabla_{\frac{\partial}{\partial x^{i}}}\frac{\partial}{\partial x^{j}}$
Ponendo $\nabla_{\frac{\partial}{\partial x^{i}}}\frac{\partial}{\partial x^{j}}=\sum_{k=i}^{n}\Gamma _{ij}^{k}\frac{\partial}{\partial x^{k}}$, dove $\Gamma _{ij}^{k}\frac{\partial}{\partial x^{k}} \in C^{\infty}$, l'espressione in coordinate della connessione $\nabla(\cdot,\cdot)$ diventa
[tex]\nabla_XY = \sum_{k=1}^{n}[X(Y^{k})+\sum_{i,j=1}^{n}\Gamma _{ij}^{k}X^{i}Y^{j}]\frac{\partial}{\partial x^{k}}[/tex] (1)

Questo è quanto sono riuscita a capire della derivata covariante per campi di vettori, i passaggi sono corretti?
La formula a cui arrivo dipende dalle $\frac{\partial}{\partial x^{k}$ (base naturale dello spazio tangente ) e questo mi indurrebbe a pensare che effettivamente ricavo un qualcosa che si trova sul piano tangente alla superficie.

Ammesso che ciò sia giusto ( ), come posso estendere la derivazione covariante a campi di tensori?

Ho pensato questo: un campo di vettori può essere visto come un tensore di tipo (1,0) quindi facendo la derivata covariante ottengo la (1) che è ancora un campo di vettori tangente ( controvariante ) quindi è un tensore (1,x) dove x è il grado di covarianza, che devo ancora determinare. Provando a derivare in modo covariante T(1,0) trovo $\nabla_hT^i = \frac{\partial T^i}{\partial x^h} + \Gamma^i_{hk}T^k $ che mi suggerisce che per contrazione degli indici io abbia ottenuto un tensore (1,1) e che quindi il grado di covarianza sia aumentato di 1.

Quanto di ciò che ho scritto ha un senso? E come posso esprimere il tutto in termini un pò più formali?

Ringrazio ancora per la pazienza!

[david_e1]

Mi pare che i passaggi siano corretti: i simboli di Christoffel sono effettivamente interpretabili come "la derivazione delle coordinate":

$ \Gamma_{jk}^i = \langle dx^i, \nabla_j\ \partial_k \rangle $,

quindi uno *un po' impropriamente* potrebbe pensare alla derivata covariante come una derivata di un prodotto: compaiono le derivata dei coefficienti del campo vettoriale per la base + i coefficienti per le derivate della base.

Il tutto si formalizza poi definendo la derivata covariante come un'operazione che soddisfa una serie di proprietà, vedi ad esempio:

http://en.wikipedia.org/wiki/Covariant_ ... definition

Per quanto riguarda i campi tensoriali il tutto si estende richiedendo che la derivata covariante rispetti la regola di Liebnitz. Ad esempio per le uno-forme:

$ \nabla \langle \alpha, X \rangle = \langle \nabla \alpha, X \rangle + \langle \alpha, \nabla X \rangle $,

da cui si trova:

$ \alpha_{i;k} = \alpha_{i,j} - \Gamma_{ki}^j \alpha_j $;

dove ho indicato con il ; la derivata covariante e con , la derivata ordinaria.

Allo stesso modo, ad esempio, per tensori doppi due volte controvarianti:

$ T_{;k}^{ij} = T_{,k}^{ij} + \Gamma_{kl}^i T^{lj} + \Gamma_{kl}^j T^{il}$

In generale la regola mnemonica che ho trovato io e che ho verificato fino a tensori doppi è:

1. Tanti $\Gamma$ quanti sono gli indici
2. Il primo indice "covariante" dei $\Gamma$ è sempre quello rispetto a cui si deriva
3. Il segno è + per gli indici controvarianti e - per gli indici covarianti.

*** EDIT ***
PS : Ho sempre sottointeso la somma sugli indici ripetuti...

[cirasa]

"Clorinda":Questo è quanto sono riuscita a capire della derivata covariante per campi di vettori, i passaggi sono corretti?
La formula a cui arrivo dipende dalle $\frac{\partial}{\partial x^{k}$ (base naturale dello spazio tangente ) e questo mi indurrebbe a pensare che effettivamente ricavo un qualcosa che si trova sul piano tangente alla superficie.

I passaggi sono corretti.
Ciò ti dice che la derivata covariante di un campo vettoriale $Y$ rispetto ad un altro campo vettoriale $X$ è, come dici tu, ancora un vettore tangente.
E ti dice anche che se $X,Y$ sono campi vettoriali differenziabili (ovvero le funzioni componenti $X^h,Y^k$ sono differenziabili su ogni carta), allora anche $nabla_XY$ è differenziabile.

Attenzione che l'operatore $nabla_X$ dipende dalla connessione $nabla$ fissata. Se la tua varietà è una varietà Riemanniana (per esempio se è una sottovarietà di $RR^N$ o, in particolare, se è una superficie di $RR^3$) allora hai una connessione privilegiata, ovvero la connessione di Levi-Civita.

"Clorinda":come posso estendere la derivazione covariante a campi di tensori?

Quando ho studiato io queste cose, ho usato lo strumento delle derivazioni.
Data una varietà $M$ si dice derivazione su $M$ ogni operatore $RR$-lineare $D$ che associa ad ogni campo tensoriale differenziabile $T$ su $M$ un ulteriore campo tensoriale $D(T)$ tale che:
1) $D$ conserva i tipi (cioè se $T$ è un campo tensoriale di tipo $(r,s)$ allora anche $D(T)$ lo è);
2) $D$ commuta con le contrazioni degli indici;
3) $D(T\otimes S)=D(T)\otimes S+T\otimes D(S)$ per ogni campo tensiorale $T,S$.

Il teorema importante sulle derivazioni è il seguente:
Dati un campo vettoriale $X$ e un operatore $RR$-lineare $A$ che associa ad ogni campo vettoriale $Y$ un ulteriore campo vettoriale $A(Y)$, supponiamo che
(1) $A(fY)=X(f)Y+fA(Y)$ per ogni funzione $f$ e campo vettoriale $Y$.
Allora esiste un'unica derivazione $D$ su $M$ tale che
(2) $D(f)=X(f)$ e $D(Y)=A(Y)$ per ogni funzione $f$ e campo vettoriale $Y$.

Ora, data una connessione $nabla$ su una varietà $M$ per ogni campo vettoriale $X$ puoi costruire l'operatore $nabla_X$ come hai fatto prima e osservare che $X$ e $nabla_X$ verificano il teorema precedente.
Pertanto esiste un'unica derivazione (che si indica ancora con $nabla_X$) che agisce come $X$ sulle funzioni e agisce come $nabla_X$ sui campi vettoriali.

Abbiamo così esteso $nabla_X$ all'intera algebra dei campi tensoriali su una varietà.
Si può anche dare un'espressione (moooolto lunga) in coordinate della derivata covariante $nabla_XT$ (con $X$ campo vettoriale e $T$ campo tensoriale di tipo $(r,s)$) e ovviamente tale espressione dipenderà dalle funzioni componenti di $X$ e $T$ e dalle funzioni $Gamma^i_{jk}$ (per ogni fissata carta locale).
Puoi trovare tale espressione per esempio in M.M.Postnikov, Geometry VI, Riemannian Geometry, Springer, pag. 467.

[cirasa]

Scusa david_e per la sovrapposizione, non avevo visto che avevi già ampiamente risposto
Tra l'altro la formula a cui mi riferivo è citata su wiki.

[david_e1]

"cirasa":Scusa david_e per la sovrapposizione, non avevo visto che avevi già ampiamente risposto
Tra l'altro la formula a cui mi riferivo è citata su wiki.

Mica ti devi scusare ! Tra l'altro le nostre risposte non si sovrappongono: nella mia non c'era praticamente nulla di teoria, ma solo qualche accenno a come poi la cosa venga fuori in termini di componenti...

[Clorinda1]

Grazie mille per le risposte, e ora vado anche a cercarmi il libro di Postnikov!

Se ho ancora dei dubbi posterò qui!