Derivato di uno spazio discreto
E' vero che il derivato di un sottoinsieme di uno spazio discreto è contenuto in S?
Lo fatto vedere facendo vedere che per ogni "punto", che nel nostro caso ogni punto in S è contemporaneamente aperto e chiuso, esiste sempre un aperto del punto meno il punto che ha intersezione non vuota con S.
Cioè in matematichese
$U_x-{x}\cap S != \varphi$
Lo fatto vedere facendo vedere che per ogni "punto", che nel nostro caso ogni punto in S è contemporaneamente aperto e chiuso, esiste sempre un aperto del punto meno il punto che ha intersezione non vuota con S.
Cioè in matematichese
$U_x-{x}\cap S != \varphi$
Risposte
Prendila con le pinze questa cosa.
Detto $(X,\theta)$ lo spazio con la topologia discreta assegnata,
$x_0$ è di accumulazione per il sottoinsieme $S\subeX$ se per OGNI aperto contenente $x_0$, tolto il punto, l'intersezione con S è non vuota.
Allora se prendo anche solo ${x_0}\uu{x_1}$ avendo scelto $x_1\nnS=\phi$ ovvero $x_1$ non appartenente ad $S$, questo è un intorno che non interseca $S$ se non in $x_0$.
Quindi $S$ non ha punti di accumulazione, mi verrebbe da dire.
D'altra parte che $D(S)$ era incluso si poteva vedere anche da qua
$\barS=S\uuD(S)$ ma siccome $S$ è chiuso,
$\barS=S$ da cui deve essere che $D(S)\subeS$
Date una controllatina a ciò che ho scritto, che anche io sono abbastanza nuovo alla topologia.
Detto $(X,\theta)$ lo spazio con la topologia discreta assegnata,
$x_0$ è di accumulazione per il sottoinsieme $S\subeX$ se per OGNI aperto contenente $x_0$, tolto il punto, l'intersezione con S è non vuota.
Allora se prendo anche solo ${x_0}\uu{x_1}$ avendo scelto $x_1\nnS=\phi$ ovvero $x_1$ non appartenente ad $S$, questo è un intorno che non interseca $S$ se non in $x_0$.
Quindi $S$ non ha punti di accumulazione, mi verrebbe da dire.
D'altra parte che $D(S)$ era incluso si poteva vedere anche da qua
$\barS=S\uuD(S)$ ma siccome $S$ è chiuso,
$\barS=S$ da cui deve essere che $D(S)\subeS$
Date una controllatina a ciò che ho scritto, che anche io sono abbastanza nuovo alla topologia.
Io sono d'accordo con Steven. Uno spazio discreto non ha punti di accumulazione, direi quasi per definizione.
riporto un esempio simpatico con un numero finito di punti in cui ci sono punti di accumulazione. Consideriamo
$X={a,b,c,d,e}$ con la topologia $tau_x={X,O/,{a},{c,d},{a,c,d},{b,c,d,e}}$.
Consideriamo $A={a,b,c}$.
Un punto $p\in X$ è un punto di accumulazione di un sottoinsieme $A$ sse ogni aperto $G$ contenente $p$ soddisfa la relazione $(G-{p}nnA!=O/$
Mostriamo che $b$ è di accumulazione per $A$: Gli unici aperti che contengono $b$ sono ${c,d},{b,c,d,e},X$.
Quindi
$(X-{b})nn{a,b,c}={a,c}$
$({c,d}-{b})nn{a,b,c}={c}$
$({b,c,d,e}-{b})nn{a,b,c}={a,c}$
Quindi tutti gli aperti contenenti $b$ soddisfano la definizione. $b$ è un punto di accumulazione.
Notare che ${a}$ non è di accumulazione, infatti se consideriamo ${a}-{a}=O/nnA=O/$ quindi un insieme discreco CON LA TOPOLOGIA DISCRETA non ammette punti di accumulazione, ma con una topologia simpatica tipo questa si
.
$X={a,b,c,d,e}$ con la topologia $tau_x={X,O/,{a},{c,d},{a,c,d},{b,c,d,e}}$.
Consideriamo $A={a,b,c}$.
Un punto $p\in X$ è un punto di accumulazione di un sottoinsieme $A$ sse ogni aperto $G$ contenente $p$ soddisfa la relazione $(G-{p}nnA!=O/$
Mostriamo che $b$ è di accumulazione per $A$: Gli unici aperti che contengono $b$ sono ${c,d},{b,c,d,e},X$.
Quindi
$(X-{b})nn{a,b,c}={a,c}$
$({c,d}-{b})nn{a,b,c}={c}$
$({b,c,d,e}-{b})nn{a,b,c}={a,c}$
Quindi tutti gli aperti contenenti $b$ soddisfano la definizione. $b$ è un punto di accumulazione.
Notare che ${a}$ non è di accumulazione, infatti se consideriamo ${a}-{a}=O/nnA=O/$ quindi un insieme discreco CON LA TOPOLOGIA DISCRETA non ammette punti di accumulazione, ma con una topologia simpatica tipo questa si
.
Eh ma in genere quando si dice "insieme discreto" si intende proprio "insieme con la topologia discreta", ovvero tale che ogni singoletto è aperto. Per esempio: $ZZ$ è discreto in $RR$ significa dire: la topologia di sottospazio di $ZZ$ è quella discreta. Questo mi pare equivalga all'assenza di punti di accumulazione.
Del resto mi pare che la parola discreto abbia qualcosa in comune, come etimologia, con il verbo distinguere (a scuola studiai latino ma naturalmente non mi ricordo più un tubo ...
). Quindi quando uno dice che un insieme è discreto, io intendo "tale che la topologia distingue i suoi punti". Ripeto: io intendo, non lo so se sono cose universalmente accettate.
Del resto mi pare che la parola discreto abbia qualcosa in comune, come etimologia, con il verbo distinguere (a scuola studiai latino ma naturalmente non mi ricordo più un tubo ...
). Quindi quando uno dice che un insieme è discreto, io intendo "tale che la topologia distingue i suoi punti". Ripeto: io intendo, non lo so se sono cose universalmente accettate.
si si concordo con te, se non si dice nulla si lascia per inteso che la topologia adottata è quella standard sull'insieme 
Infatti non ho dato contro alle risposte di steven e tue, volevo solo aggiungere un esempio che non è il solito della topologia banale, ma qualcosa che si avvicina "molto" a una topologia discreta 
Infatti non ho dato contro alle risposte di steven e tue, volevo solo aggiungere un esempio che non è il solito della topologia banale, ma qualcosa che si avvicina "molto" a una topologia discreta
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