Derivata parziale su germi di funzioni

[ACA2]

Voglio mostrare che la seguente definizione è indipendente dal rappresentante.
Dato un germe di funzioni \(\displaystyle C^{\infty}\) f su una varietà \(\displaystyle M \), definisco la derivata parziale di f in \(\displaystyle p \in M \):

\(\displaystyle \frac{\partial}{\partial x^i}(p) = \frac{\partial (f \circ \phi^{-1} )}{\partial x^i} (\phi (p)) \)

con \(\displaystyle \phi \) una carta in \(\displaystyle U \in M \) e \(\displaystyle (U,f) \) rappresentante di f.
C'è qualcosa che non capisco di questa definizione, perché non solo non riesco a mostrare che prendendo un altro rappresentante il valore della derivata resta lo stesso, ma non riesco neanche a mostrare che vale la regola di Leibnitz che caratterizza le derivazioni sui germi di funzioni.

[killing_buddha]

La derivata è una costruzione che si fa localmente (anche se sarebbe meglio dire che essendo un limite, essa è invariante per la scelta di un sistema cofinale). Se allora \(\mathbf{f}\) è un germe di funzioni, e scegli $(U,f)$ e $(U',g)$ rappresentanti per \(\mathbf{f}\), esiste un intorno $V \subseteq U\cap U'$ di $p$ su cui \(f\equiv g\), cosicché, restringendosi a tale $V$ (e confondendolo allo stesso tempo con la sua immagine omeomorfa $\phi(V)$) si ha che tutte le derivate parziali di $f\circ \phi^{-1}$ coincidono con quelle di $g\circ \phi^{-1}$.