Derivata Esterna e forme differenziali
Salve a tutti, avrei una domanda sulle forme differenziali e la derivazione esterna;
la DERIVATA ESTERNA è definita come:
una trasformazione lineare dalle k-forme alle (k+1)-forme, che rispetta tre proprietà fondamentali:
1) se f è una funzione la d coincide con il suo differenziale
2) se faccio d(df) trovo 0
3) e d(a ^ b)= da ^ b + (-1)^P (a ^db) se a è una p-forma
se ho una 1-forma w=f(x)dx e faccio la sua derivata esterna trovo:
d(w)=df^dx+f^dd(x)=df ^ dx
Vorrei sapere da dove è sbucato fuori il prodotto esterno (wedge)? Dato che prima non c'era, infatti era espressa come componenti per una base.
la DERIVATA ESTERNA è definita come:
una trasformazione lineare dalle k-forme alle (k+1)-forme, che rispetta tre proprietà fondamentali:
1) se f è una funzione la d coincide con il suo differenziale
2) se faccio d(df) trovo 0
3) e d(a ^ b)= da ^ b + (-1)^P (a ^db) se a è una p-forma
se ho una 1-forma w=f(x)dx e faccio la sua derivata esterna trovo:
d(w)=df^dx+f^dd(x)=df ^ dx
Vorrei sapere da dove è sbucato fuori il prodotto esterno (wedge)? Dato che prima non c'era, infatti era espressa come componenti per una base.
Risposte
Perché \(\displaystyle f\wedge dx = f\, dx \). Pertanto \(\displaystyle d\omega = d(f\,dx) = d(f\wedge dx) = df\wedge dx + (-1)^0 f\wedge d(dx) = df\wedge dx \).
Ok, Grazie della veloce risposta!
Quindi posso immaginare la forma w come la funz. f,cioè una 0-forma, wedge una 1-forma, dx; sapendo che:
[tex]v \in TpV[/tex] [tex](f \wedge dx)(p)(v)=f(p)dx(v)[/tex] valutata nel punto p
Cioè il prodotto wedge, in questo caso limite, si comporta come un normale prodotto componente per elemento della base?
Quindi posso immaginare la forma w come la funz. f,cioè una 0-forma, wedge una 1-forma, dx; sapendo che:
[tex]v \in TpV[/tex] [tex](f \wedge dx)(p)(v)=f(p)dx(v)[/tex] valutata nel punto p
Cioè il prodotto wedge, in questo caso limite, si comporta come un normale prodotto componente per elemento della base?
Se ti viene più facile puoi pensarla in questo modo:
\(\displaystyle f = f1 \) dove \(\displaystyle 1 \) è l'identità di \(\displaystyle \wedge \). Quindi \(\displaystyle (f1)\wedge g\,dx = fg\,(1\wedge dx) = fg\, dx \).
\(\displaystyle f = f1 \) dove \(\displaystyle 1 \) è l'identità di \(\displaystyle \wedge \). Quindi \(\displaystyle (f1)\wedge g\,dx = fg\,(1\wedge dx) = fg\, dx \).
Quindi 1 è l'unico elemento della base delle 0-forme?
Se intendi base come spazio vettoriale allora no. Se \(\displaystyle \{1, dx, dy, dx\wedge dy\} \) sono una base di \(\displaystyle \Omega(\mathbb{R}^2) \) (non so se tu usi questa notazione, intendo le forme differenziali su \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \)) qual'è il campo su cui è definito?
Insomma, se ci pensi ti accorgi presto che
[list=1][*:13yzoi92]L'insieme delle funzioni \(\displaystyle C^{\infty} \) non formano un campo, come neanche le sole applicazione lineari.[/*:m:13yzoi92]
[*:13yzoi92] \(\displaystyle \Omega(\mathbb{R}^m) \) è uno spazio vettoriale reale di dimensione infinita, infatti contiene un sottospazio vettoriale di dimensione infinita (lo spazio delle funzioni \(\displaystyle C^{\infty} \)).[/*:m:13yzoi92]
[*:13yzoi92] Se tu consideri l'algebra generata dalle \(\displaystyle \{dx_i\} \) (che io chiamo \(\displaystyle \Lambda(\mathbb{R}^m) \)) allora questa è uno spazio vettoriale reale di dimensione \(\displaystyle \sum_{i=0}^m \binom{m}{i} = 2^m \);[/*:m:13yzoi92]
[*:13yzoi92] Puoi vedere \(\displaystyle \Omega(\mathbb{R}^m) \) come \(\displaystyle C^{\infty}(\mathbb{R}^m)\otimes \Lambda(\mathbb{R}^m) \) (quello è il prodotto tensoriale) .[/*:m:13yzoi92][/list:o:13yzoi92]
D'altra parte, nella teoria delle forme differenziali su varietà l'aspetto del prodotto tensoriale si perde perché in realtà tu consideri \(\displaystyle \Lambda(T_pM^{\ast}) \) e il fibrato corrispondente. A quel punto una forma differenziale è una sezione di quel fibrato. Cioè in sostanza una funzione che associa ogni punto di \(\displaystyle M \) un elemento di \(\displaystyle \Lambda(T_pM^{\ast}) \) con una certa regolarità. Le funzioni rappresentano come la scelta dell'elemento di \(\displaystyle \Lambda(T_pM^{\ast}) \) varia cambiando il punto.
Nota comunque che \(\displaystyle \Omega(\mathbb{R}^m) \) è una \(\displaystyle C^{\infty}(\mathbb{R}^m) \)-algebra di dimensione \(\displaystyle 2^m \).
Insomma, se ci pensi ti accorgi presto che
[list=1][*:13yzoi92]L'insieme delle funzioni \(\displaystyle C^{\infty} \) non formano un campo, come neanche le sole applicazione lineari.[/*:m:13yzoi92]
[*:13yzoi92] \(\displaystyle \Omega(\mathbb{R}^m) \) è uno spazio vettoriale reale di dimensione infinita, infatti contiene un sottospazio vettoriale di dimensione infinita (lo spazio delle funzioni \(\displaystyle C^{\infty} \)).[/*:m:13yzoi92]
[*:13yzoi92] Se tu consideri l'algebra generata dalle \(\displaystyle \{dx_i\} \) (che io chiamo \(\displaystyle \Lambda(\mathbb{R}^m) \)) allora questa è uno spazio vettoriale reale di dimensione \(\displaystyle \sum_{i=0}^m \binom{m}{i} = 2^m \);[/*:m:13yzoi92]
[*:13yzoi92] Puoi vedere \(\displaystyle \Omega(\mathbb{R}^m) \) come \(\displaystyle C^{\infty}(\mathbb{R}^m)\otimes \Lambda(\mathbb{R}^m) \) (quello è il prodotto tensoriale) .[/*:m:13yzoi92][/list:o:13yzoi92]
D'altra parte, nella teoria delle forme differenziali su varietà l'aspetto del prodotto tensoriale si perde perché in realtà tu consideri \(\displaystyle \Lambda(T_pM^{\ast}) \) e il fibrato corrispondente. A quel punto una forma differenziale è una sezione di quel fibrato. Cioè in sostanza una funzione che associa ogni punto di \(\displaystyle M \) un elemento di \(\displaystyle \Lambda(T_pM^{\ast}) \) con una certa regolarità. Le funzioni rappresentano come la scelta dell'elemento di \(\displaystyle \Lambda(T_pM^{\ast}) \) varia cambiando il punto.
Nota comunque che \(\displaystyle \Omega(\mathbb{R}^m) \) è una \(\displaystyle C^{\infty}(\mathbb{R}^m) \)-algebra di dimensione \(\displaystyle 2^m \).
Grazie per l'aiuto!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo