Derivata di prodotto matriciale
Buonasera a tutti!
Sto studiando la teoria della contrazione, relativa ai sistemi non lineari. Brevemente si cerca una condizione per la quale due traiettorie, distanti un certo \(\displaystyle \delta x \), convergono dopo un certo tempo. Le slide da cui studio definiscono la velocità \(\displaystyle \delta \dot{x}=\frac{\partial f(x,t)}{\partial x} \delta x\), mentre la derivata della distanza al quadrato viene calcolata come segue:
\(\displaystyle \frac{d}{dt} (\delta x^T \delta x)=2 \delta x^T \delta \dot{x} \)
La cosa che non mi quadra è proprio la derivata. Se non erro andrebbe fatta la derivata del primo per il secondo non derivato più il viceversa. Però come ottiene quella forma finale? C'è qualcosa che non sto considerando? Grazie anticipatamente
Sto studiando la teoria della contrazione, relativa ai sistemi non lineari. Brevemente si cerca una condizione per la quale due traiettorie, distanti un certo \(\displaystyle \delta x \), convergono dopo un certo tempo. Le slide da cui studio definiscono la velocità \(\displaystyle \delta \dot{x}=\frac{\partial f(x,t)}{\partial x} \delta x\), mentre la derivata della distanza al quadrato viene calcolata come segue:
\(\displaystyle \frac{d}{dt} (\delta x^T \delta x)=2 \delta x^T \delta \dot{x} \)
La cosa che non mi quadra è proprio la derivata. Se non erro andrebbe fatta la derivata del primo per il secondo non derivato più il viceversa. Però come ottiene quella forma finale? C'è qualcosa che non sto considerando? Grazie anticipatamente
Risposte
Ciao!
Quanto dici è corretto; fai la derivata come ti fai solitamente e poi considera che $x^T y=y^Tx$. Cosa ti viene?
Quanto dici è corretto; fai la derivata come ti fai solitamente e poi considera che $x^T y=y^Tx$. Cosa ti viene?
"anto_zoolander":
Ciao!
Quanto dici è corretto; fai la derivata come ti fai solitamente e poi considera che $x^T y=y^Tx$. Cosa ti viene?
Ciao, grazie per la risposta intanto. La prima parte della derivata dovrebbe essere \(\displaystyle \delta \dot{x}^T \delta x \), mentre la seconda \(\displaystyle \delta \dot{x} \delta x^T \). Ho dei dubbi però su quella relazione che mi hai scritto, vale sempre?
È la classica derivata del prodotto; il primo derivato per il secondo non derivato sommato al viceversa.
"anto_zoolander":
È la classica derivata del prodotto; il primo derivato per il secondo non derivato sommato al viceversa.
Hai ragione, ho sbagliato a scrivere, adesso ho corretto. Il problema è che non capisco come mai valga l'uguaglianza \(\displaystyle x^T y=y^T x \). Il secondo membro non dovrebbe essere il trasposto del primo?
La quantità $x^Ty$ è un numero no?
Un numero e il suo trasposto coincidono quindi
Un numero e il suo trasposto coincidono quindi
$x^Ty=(x^Ty)^T=y^T(x^T)^T=y^Tx$
In realtà non lo so però ci possiamo ragionare insieme.\(\displaystyle \delta x \) rappresenta lo scostamento virtuale tra le due traiettorie (quindi dovrebbe essere un numero), mentre \(\displaystyle \delta \dot{x} \) rappresenta la velocità, di conseguenza anche questo è un numero. Sbaglio?
Tu devi ragionare sul prodotto.
Hai che $d/(dt)(deltax^T deltax)=deltadot(x)^Tdeltax+deltax^T deltadot(x)$
Ti interessa dimostrare che quella quantità è $2deltax^Tdeltadot(x)$
In generale sai che $underbrace([(x_1,...,x_n)])_(x^T)*underbrace([(y_1),( : ),(y_n)])_(y)=sum_(k=1)^(n)x_ky_k$
Questo significa che la quantità $x^Ty$ è un numero e vale quanto detto sopra. quindi si deduce che $deltadot(x)^Tdeltax=deltax^Tdeltadot(x)$
Quindi $d/(dt)(deltax^T deltax)=deltadot(x)^Tdeltax+deltax^T deltadot(x)=2deltax^Tdeltadot(x)$
Ricordati che il prodotto scalare di due vettori è un numero.
Hai che $d/(dt)(deltax^T deltax)=deltadot(x)^Tdeltax+deltax^T deltadot(x)$
Ti interessa dimostrare che quella quantità è $2deltax^Tdeltadot(x)$
In generale sai che $underbrace([(x_1,...,x_n)])_(x^T)*underbrace([(y_1),( : ),(y_n)])_(y)=sum_(k=1)^(n)x_ky_k$
Questo significa che la quantità $x^Ty$ è un numero e vale quanto detto sopra. quindi si deduce che $deltadot(x)^Tdeltax=deltax^Tdeltadot(x)$
Quindi $d/(dt)(deltax^T deltax)=deltadot(x)^Tdeltax+deltax^T deltadot(x)=2deltax^Tdeltadot(x)$
Ricordati che il prodotto scalare di due vettori è un numero.
Hai ragione, adesso ho capito. Sei stato chiarissimo! Grazie mille
Purtroppo ho un altro problema 
Sempre nelle slide scrive che \(\displaystyle \lambda_{max} \) è l'autovalore massimo della parte simmetrica dello Jacobiano \(\displaystyle J_s=\frac{1}{2} (\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f^T}{\partial x}) \), di conseguenza vale la seguente
\(\displaystyle \frac{d}{dt}(\delta x^T \delta x)=2\delta x^T \delta \dot{x}=2\delta x^T \frac{\partial f}{\partial x} \delta x \le 2 \lambda_{max} \delta x^T \delta x\)
Non capisco come mai valga questa cosa. È come se dicesse che \(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} \le \lambda_{max} \), ma non è possibile poichè parliamo di un numero e di una matrice. Come mai questa cosa? C'è qualche proprietà che non considero? Grazie anticipatamente
Sempre nelle slide scrive che \(\displaystyle \lambda_{max} \) è l'autovalore massimo della parte simmetrica dello Jacobiano \(\displaystyle J_s=\frac{1}{2} (\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f^T}{\partial x}) \), di conseguenza vale la seguente
\(\displaystyle \frac{d}{dt}(\delta x^T \delta x)=2\delta x^T \delta \dot{x}=2\delta x^T \frac{\partial f}{\partial x} \delta x \le 2 \lambda_{max} \delta x^T \delta x\)
Non capisco come mai valga questa cosa. È come se dicesse che \(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} \le \lambda_{max} \), ma non è possibile poichè parliamo di un numero e di una matrice. Come mai questa cosa? C'è qualche proprietà che non considero? Grazie anticipatamente
Ciao!
prima di tutto vorrei sapere che funzione è $f$; è un campo vettoriale o un campo scalare? Inoltre cosa è $(partialf)/(partialx)$? scrivendo $J_s=...$ sembra che sia una matrice; intendi la Jacobiana?
dovresti chiarire queste notazioni.
prima di tutto vorrei sapere che funzione è $f$; è un campo vettoriale o un campo scalare? Inoltre cosa è $(partialf)/(partialx)$? scrivendo $J_s=...$ sembra che sia una matrice; intendi la Jacobiana?
dovresti chiarire queste notazioni.
Si, le notazioni non sono da matematico, ma comunque è chiaro cosa stia facendo; usa la disuguaglianza
\[
x^TAx\le \lambda_{\mathrm{max}}x^T x, \]
dove \(\lambda_{\mathrm{max}}\) è l'autovalore più grande della parte simmetrica \(\frac{1}{2}(A+A^T)\) della matrice \(A\), e \(x\in\mathbb R^n\).
Nel testo, sta applicando questa disuguaglianza alla matrice \(A=\frac{\partial f}{\partial x}\), evidentemente una notazione per la matrice Jacobiana di una funzione \(f\colon \mathbb R^n\to \mathbb R^n\).
\[
x^TAx\le \lambda_{\mathrm{max}}x^T x, \]
dove \(\lambda_{\mathrm{max}}\) è l'autovalore più grande della parte simmetrica \(\frac{1}{2}(A+A^T)\) della matrice \(A\), e \(x\in\mathbb R^n\).
Nel testo, sta applicando questa disuguaglianza alla matrice \(A=\frac{\partial f}{\partial x}\), evidentemente una notazione per la matrice Jacobiana di una funzione \(f\colon \mathbb R^n\to \mathbb R^n\).
@peppe
[ot]io mi sono fomentato nel cercare di generalizzarlo perché pensavo proprio alla seguente cosa;
Se $(V,*)$ è uno spazio euclideo di dimensione $n$ reale e $T_1,T_2 in E n d(V)$ sono endomorfismi tali che $T_2$ sia autoaggiunto rispetto a $*$. Posto $L=1/2(T_1+T_2)$ e $rho(#)$ il raggio spettrale;
Pensi si possa modificare per renderlo sensato? Almeno ho qualcosa da fare nei successivi tre giorni in cui vado a Ragusa per un matrimonio
Mi piacerebbe farlo in dimensione infinita ma non sono competente ancora.[/ot]
[ot]io mi sono fomentato nel cercare di generalizzarlo perché pensavo proprio alla seguente cosa;
Se $(V,*)$ è uno spazio euclideo di dimensione $n$ reale e $T_1,T_2 in E n d(V)$ sono endomorfismi tali che $T_2$ sia autoaggiunto rispetto a $*$. Posto $L=1/2(T_1+T_2)$ e $rho(#)$ il raggio spettrale;
$v*(L(v)-rho(T_2)v)leq0,forallv in V$
Pensi si possa modificare per renderlo sensato? Almeno ho qualcosa da fare nei successivi tre giorni in cui vado a Ragusa per un matrimonio
Mi piacerebbe farlo in dimensione infinita ma non sono competente ancora.[/ot]
Visto che anto chiede, la parte simmetrica \(\frac{1}{2}(A+A^T)\) emerge perché
\[
x^TAx=x^T\left(\frac{1}{2}(A+A^T)\right)x,\]
quindi una stima della forma quadratica \(x^TAx\) deve necessariamente dipendere solo dallo spettro della parte simmetrica. Dimostrazione, facile:
\[
x^TAx=x^T\left( \frac{1}{2}(A+A^T) + \frac{1}{2}(A-A^T)\right)x, \]
e \(x^T(A-A^T)x=x^TAx - x^TA^Tx =0\), perché come anto ha detto in uno dei primi post, \((x^TAx)^T=x^TAx\) visto che \(x^TAx\) è uno scalare.
In particolare, la generalizzazione a \(\frac{1}{2}(A+B)\) è senza speranza. Invece, la generalizzazione a spazi di dimensione infinita è una cosa sensata: https://books.google.es/books?id=GAA2Xq ... &q&f=false, Proposition 6.9.
\[
x^TAx=x^T\left(\frac{1}{2}(A+A^T)\right)x,\]
quindi una stima della forma quadratica \(x^TAx\) deve necessariamente dipendere solo dallo spettro della parte simmetrica. Dimostrazione, facile:
\[
x^TAx=x^T\left( \frac{1}{2}(A+A^T) + \frac{1}{2}(A-A^T)\right)x, \]
e \(x^T(A-A^T)x=x^TAx - x^TA^Tx =0\), perché come anto ha detto in uno dei primi post, \((x^TAx)^T=x^TAx\) visto che \(x^TAx\) è uno scalare.
In particolare, la generalizzazione a \(\frac{1}{2}(A+B)\) è senza speranza. Invece, la generalizzazione a spazi di dimensione infinita è una cosa sensata: https://books.google.es/books?id=GAA2Xq ... &q&f=false, Proposition 6.9.
grazie, tra le altre cose, per aver citato questo libro 
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