Derivata di matrice

[Luca D.1]

Ciao a tutti!
Dato il vettore $x(t)$ e la matrice $Q(t)$, e definita $H = x^TQx$
Qualcuno potebbe gentilmente dirmi perchè $d(H^T)/dx = 2Q(t)x(t)$ ?
Grazie!

[miuemia]

ma la derivata è rispetto al tempo suppongo!
no???

[in_me_i_trust]

Se chiami $f=x^T$ e $g=Qx$ puoi usare la regoletta della derivata del prodotto delle due funzioni, infatti

$\frac(d)(dx)fg=[\frac(d)(dx)f]g+f[\frac(d)(dx)g]=2Qx$

[Luca D.1]

"in_me_i_trust":Se chiami $f=x^T$ e $g=Qx$ puoi usare la regoletta della derivata del prodotto delle due funzioni, infatti

$\frac(d)(dx)fg=[\frac(d)(dx)f]g+f[\frac(d)(dx)g]=2Qx$

Facciamo un esempietto..
supponiamo x di dimensione 3 e quindi Q 3x3.
$x(t) = [[x_1(t)],[x_2(t)],[x_3(t)]]$
$x^T(t) = [[x_1(t),x_2(t),x_3(t)]]$

$\frac(d)(dx)fg=[\frac(d)(dx)f]g+f[\frac(d)(dx)g]=[[1, 1, 1]]Qx + [[x_1(t),x_2(t),x_3(t)]]*Q = [[1, 1, 1]]Qx + x^T*Q$
Ora?!

[leev]

$Q$ è simmetrica per ipotesi?
se no non credo che quadri...

[Luca D.1]

"leev":$Q$ è simmetrica per ipotesi?
se no non credo che quadri...

Si si scusa, mi ero dimenticato di specificarlo.

[in_me_i_trust]

A ecco infatti senza la simmetria non mi tornava^^

allora nel tuo esempio hai dimenticato un $[(1),(1),(1)]$ in fondo a moltiplicare, allora se indico con $1^(T)$ un vettore di $1$ come componenti possiamo scrivere

$\frac(d)(dx)H=\frac(d)(dx)x^(T)Qx=1^(T)Qx+x^(T)Q1$

inoltre per la simmetria di $Q$ vale $x^(T)Q1=1^(T)Qx$ (provalo con una matrice 2x2 sono due calcoletti) e quindi si ottiene

$\frac(d)(dx)H=1^(T)(2Qx)=2^(T)Qx$

che ne dici convince?

[Luca D.1]

"in_me_i_trust":
che ne dici convince?

Ora torna!
Da dove discenderebbe questa simpatica regoletta?
$x^(T)Q1=1^(T)Qx$
Sembrerebbe che se ho una matrice simmetrica "in mezzo" posso spostare tutto quello ce c'è a dx a sx e trasporre tutto quello che c'è a dx e sx!!

[leev]

"Luca D.":[quote="in_me_i_trust"]
che ne dici convince?

Ora torna!
Da dove discenderebbe questa simpatica regoletta?
$x^(T)Q1=1^(T)Qx$
Sembrerebbe che se ho una matrice simmetrica "in mezzo" posso spostare tutto quello ce c'è a dx a sx e trasporre tutto quello che c'è a dx e sx!! [/quote]
Discende dal fatto che stai considerando dei numeri (per i quali la trasposta è semplicemente il numero stesso)

[Luca D.1]

"leev":[quote="Luca D."][quote="in_me_i_trust"]
che ne dici convince?

Ora torna!
Da dove discenderebbe questa simpatica regoletta?
$x^(T)Q1=1^(T)Qx$
Sembrerebbe che se ho una matrice simmetrica "in mezzo" posso spostare tutto quello ce c'è a dx a sx e trasporre tutto quello che c'è a dx e sx!! [/quote]
Discende dal fatto che stai considerando dei numeri (per i quali la trasposta è semplicemente il numero stesso) [/quote]

Beh ma x è un vettore!

[leev]

"Luca D.":[quote="leev"][quote="Luca D."][quote="in_me_i_trust"]
che ne dici convince?

Ora torna!
Da dove discenderebbe questa simpatica regoletta?
$x^(T)Q1=1^(T)Qx$
Sembrerebbe che se ho una matrice simmetrica "in mezzo" posso spostare tutto quello ce c'è a dx a sx e trasporre tutto quello che c'è a dx e sx!! [/quote]
Discende dal fatto che stai considerando dei numeri (per i quali la trasposta è semplicemente il numero stesso) [/quote]

Beh ma x è un vettore![/quote]
intendo $x^TQ1$ e $1^TQ^Tx$ sono dei numeri.
riassumendo: $x^TQ1=1^TQ^Tx=1^TQx$ dove solo nell'ultimo passaggio uso che Q è simmetrica

[Pappus]

"leev":[quote="Luca D."][quote="leev"][quote="Luca D."][quote="in_me_i_trust"]
che ne dici convince?

Ora torna!
Da dove discenderebbe questa simpatica regoletta?
$x^(T)Q1=1^(T)Qx$
Sembrerebbe che se ho una matrice simmetrica "in mezzo" posso spostare tutto quello ce c'è a dx a sx e trasporre tutto quello che c'è a dx e sx!! [/quote]
Discende dal fatto che stai considerando dei numeri (per i quali la trasposta è semplicemente il numero stesso) [/quote]

Beh ma x è un vettore![/quote]
intendo $x^TQ1$ e $1^TQ^Tx$ sono dei numeri.
riassumendo: $x^TQ1=1^TQ^Tx=1^TQx$ dove solo nell'ultimo passaggio uso che Q è simmetrica[/quote]

più in generale $x^T Q y=y^T Q x$ se e solo se Q è simmetrica. Ovvero una forma bilineare è simmetrica se e solo se la sua matrice associata è simmetrica.