Derivata di Lie: definizione e un esempio
Buonasera a tutti
Ho un problema a comprendere la definizione di derivata di Lie. Vi anticipo che la domanda potrà sembrare banale, ma proprio non riesco a capire.
Sia \(M\) una varietà differenziabile e \(V\) un campo vettoriale su M. L'equazione \( V^{\mu} =\frac{dx^{\mu}}{dt} \) definisce le curve che hanno come vettori tangenti, punto per punto, i vettori del campo \(V\). A questo punto entra in gioco un diffeomorfismo \(\phi_{t} ( p) \), dove p è un punto della varietà, ma non capisco bene come viene definito: si dice soltanto che sulla 2-sfera un esempio è \( \phi_{t} ( \theta , \Phi) = (\theta, \Phi + t) \). Io ho pensato che possa essere che \( \phi_{t} (x^{1}, \dots, x^{n}) = (x^{1} (t), \dots, x^{n}(t)) \) ma non so se è giusto.
Sia ora \(T\) un tensore di componenti \( T^{\mu_{1} .... \mu_{k}}_{\nu_{1} \dots \nu_{j}} \) e \( \phi_{t *}T \) il pull-back di \(T\).
Definisco \( \Delta= \phi_{t*}[ T^{\mu_{1} \dots \mu_{k}}_{\nu_{1} \dots \nu_{j}} (\phi_{t} (p)] - T^{\mu_{1} \dots \mu_{k}}_{\nu_{1} \dots \nu_{j}} (p) \)
La derivata di Lie di T lungo il campo V è data da:
\(
L_{V} T (p) = lim_{t->0} \frac{ \Delta}{ t}
\)
Non riesco a capire che significato abbia il primo termine che compare in \( \Delta \): calcolo il tensore su un nuovo punto \( \phi_{t} (p) \), ma come agisce il pullback?
Un esempio, che credo possa chiarirmi le idee, è il seguente: se \(f \) è una funzione su \(M\) allora \( L_{V} f = V(f)= V^{\mu} \partial_{\mu} f \). Perchè?
Grazie in anticipo e buona serata a tutti!
Ho un problema a comprendere la definizione di derivata di Lie. Vi anticipo che la domanda potrà sembrare banale, ma proprio non riesco a capire.
Sia \(M\) una varietà differenziabile e \(V\) un campo vettoriale su M. L'equazione \( V^{\mu} =\frac{dx^{\mu}}{dt} \) definisce le curve che hanno come vettori tangenti, punto per punto, i vettori del campo \(V\). A questo punto entra in gioco un diffeomorfismo \(\phi_{t} ( p) \), dove p è un punto della varietà, ma non capisco bene come viene definito: si dice soltanto che sulla 2-sfera un esempio è \( \phi_{t} ( \theta , \Phi) = (\theta, \Phi + t) \). Io ho pensato che possa essere che \( \phi_{t} (x^{1}, \dots, x^{n}) = (x^{1} (t), \dots, x^{n}(t)) \) ma non so se è giusto.
Sia ora \(T\) un tensore di componenti \( T^{\mu_{1} .... \mu_{k}}_{\nu_{1} \dots \nu_{j}} \) e \( \phi_{t *}T \) il pull-back di \(T\).
Definisco \( \Delta= \phi_{t*}[ T^{\mu_{1} \dots \mu_{k}}_{\nu_{1} \dots \nu_{j}} (\phi_{t} (p)] - T^{\mu_{1} \dots \mu_{k}}_{\nu_{1} \dots \nu_{j}} (p) \)
La derivata di Lie di T lungo il campo V è data da:
\(
L_{V} T (p) = lim_{t->0} \frac{ \Delta}{ t}
\)
Non riesco a capire che significato abbia il primo termine che compare in \( \Delta \): calcolo il tensore su un nuovo punto \( \phi_{t} (p) \), ma come agisce il pullback?
Un esempio, che credo possa chiarirmi le idee, è il seguente: se \(f \) è una funzione su \(M\) allora \( L_{V} f = V(f)= V^{\mu} \partial_{\mu} f \). Perchè?
Grazie in anticipo e buona serata a tutti!
Risposte
Piccola introduzione. La derivata di Lie \(\mathcal{L}_V T\) è "il limite del rapporto incrementale di \(T\) lungo \(V\)", l'analogo (su varietà) della derivata classica studiata nei corsi di analisi. Facciamo dunque un piccolo flashback nel caso in cui \(M = \mathbb{R}^n\): supponiamo che \(f \colon M \to \mathbb{R}\) sia una funzione differenziabile (o anche un tensore \(T\)) e \(V\) sia un campo vettoriale costante, cioè \(V(x) = v \in \mathbb{R}^n\) per ogni \(x \in M\). In simili circostanze, la derivata di Lie di \(f\) rispetto a \(V\) non è altro che la ben nota
\[\mathcal{L}_V f (p) = \lim_{t \to 0} \frac{f(p + tv) - f(p)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{f(\Phi_t(p)) - f(p)}{t} \]dove, per ogni \(p \in M\), la curva in \(M\) definita da \(\Phi_t(p) = p + tv\) è l'unica che soddisfa le proprietà
\[ \Phi_0(p) = p \qquad \left. \frac{\mathrm{d} \Phi_t(p)}{\mathrm{d}t} \right|_{t = 0} = V(p) = v\]
In generale, dato un campo vettoriale \(V\) su una varietà \(M\) qualsiasi, la mappa \(\Phi_t(p)\) si chiama flusso locale di \(V\) ed è definita localmente per mezzo della proprietà
\[\Phi_0(p) = p \qquad \left. \frac{\mathrm{d} \Phi_t(p)}{\mathrm{d}t} \right|_{t = 0} = V(p)\]per ogni \(p \in M\). In particolare, come sopra, la curva \(t \mapsto \Phi_t(p)\) passa per \(p\) al tempo \(t = 0\) con tangente \(V(p)\). A questo punto, dato un tensore qualsiasi su \(M\), saremmo tentati di scrivere il numeratore del nostro candidato rapporto incrementale come \(T(\Phi_t(p)) - T(p)\): il problema è che in generale \(T(\Phi_t(p))\) e \(T(p)\) sono definiti su spazi tangenti distinti. Per renderli omogenei, basta considerare il pull-back \(\Phi^*_t T (\Phi_t(p)) \) e prendere in questo modo la differenza \(\Delta = \Phi^*_t T (\Phi_t(p)) - T(p)\) (stavolta ben definita) di due tensori definiti entrambi sullo spazio tangente in \(p\). In conclusione,
\[\mathcal{L}_V T(p) = \lim_{t \to 0} \frac{\Delta}{t}\]
Riguardo all'esempio che proponi (con cui tralaltro sono partito), supponiamo che in coordinate locali si abbia\(\Phi_t(p) = (x^1(t), \ldots, x^n(t))\): per definizione di \(\Phi\) abbiamo che \((x^\mu)'(0) = V^\mu\) per ogni indice \(\mu\). Inoltre,
\[\Delta = f(x^1(t), \ldots, x^n(t)) - f(x^1(0), \ldots, x^n(0))\]e, dunque,
\[\mathcal{L}_V f(p) = \left. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \right|_{t=0} f(x^1(t), \ldots, x^n(t)) = \partial_\mu f \cdot (x^\mu)'(0) = \partial_\mu f \cdot V^\mu\]
\[\mathcal{L}_V f (p) = \lim_{t \to 0} \frac{f(p + tv) - f(p)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{f(\Phi_t(p)) - f(p)}{t} \]dove, per ogni \(p \in M\), la curva in \(M\) definita da \(\Phi_t(p) = p + tv\) è l'unica che soddisfa le proprietà
\[ \Phi_0(p) = p \qquad \left. \frac{\mathrm{d} \Phi_t(p)}{\mathrm{d}t} \right|_{t = 0} = V(p) = v\]
In generale, dato un campo vettoriale \(V\) su una varietà \(M\) qualsiasi, la mappa \(\Phi_t(p)\) si chiama flusso locale di \(V\) ed è definita localmente per mezzo della proprietà
\[\Phi_0(p) = p \qquad \left. \frac{\mathrm{d} \Phi_t(p)}{\mathrm{d}t} \right|_{t = 0} = V(p)\]per ogni \(p \in M\). In particolare, come sopra, la curva \(t \mapsto \Phi_t(p)\) passa per \(p\) al tempo \(t = 0\) con tangente \(V(p)\). A questo punto, dato un tensore qualsiasi su \(M\), saremmo tentati di scrivere il numeratore del nostro candidato rapporto incrementale come \(T(\Phi_t(p)) - T(p)\): il problema è che in generale \(T(\Phi_t(p))\) e \(T(p)\) sono definiti su spazi tangenti distinti. Per renderli omogenei, basta considerare il pull-back \(\Phi^*_t T (\Phi_t(p)) \) e prendere in questo modo la differenza \(\Delta = \Phi^*_t T (\Phi_t(p)) - T(p)\) (stavolta ben definita) di due tensori definiti entrambi sullo spazio tangente in \(p\). In conclusione,
\[\mathcal{L}_V T(p) = \lim_{t \to 0} \frac{\Delta}{t}\]
Riguardo all'esempio che proponi (con cui tralaltro sono partito), supponiamo che in coordinate locali si abbia\(\Phi_t(p) = (x^1(t), \ldots, x^n(t))\): per definizione di \(\Phi\) abbiamo che \((x^\mu)'(0) = V^\mu\) per ogni indice \(\mu\). Inoltre,
\[\Delta = f(x^1(t), \ldots, x^n(t)) - f(x^1(0), \ldots, x^n(0))\]e, dunque,
\[\mathcal{L}_V f(p) = \left. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \right|_{t=0} f(x^1(t), \ldots, x^n(t)) = \partial_\mu f \cdot (x^\mu)'(0) = \partial_\mu f \cdot V^\mu\]
Grazie, ora è più chiaro.
Solo alcune cose:
1)
2) il pullback agisce sui tensori come un cambiamento di coordinate. Quindi quando faccio \( \phi^{*}_{t}T (\phi_{t} (p)) \) sto semplicemente prendendo T calcolato su un punto della curva \( \phi_{t}(p) \) (comunque non troppo lontano da p, data la località della mappa) e gli sto cambiando coordinate. Però il tensore "rimane" comunque al suo posto (mi spiego: se avessi un campo vettoriale e se cambiassi sistema di riferimento, lo stesso punto fisico dello spazio avrebbe comunque lo stesso valore del campo, anche se in coordinate diverse). Del resto, però, il pull back "riporterebbe" \( T(\phi_{t} (p)) \) a essere definito sullo spazio tangente in p per definizione. Non è una contraddizione? Oppure mi sfugge qualcosa?
Solo alcune cose:
1)
"elvis":: questo è come avevo interpretato io il diffeomorfismo, e cioè a ogni punto viene associata una curva, che è tangente al campo vettoriale in quel punto. La definizione quindi è intrinsecamente legata alla scelta delle coordinate locali del punto. Giusto?
supponiamo che in coordinate locali si abbiaΦt(p)=(x1(t),…,xn(t))
2) il pullback agisce sui tensori come un cambiamento di coordinate. Quindi quando faccio \( \phi^{*}_{t}T (\phi_{t} (p)) \) sto semplicemente prendendo T calcolato su un punto della curva \( \phi_{t}(p) \) (comunque non troppo lontano da p, data la località della mappa) e gli sto cambiando coordinate. Però il tensore "rimane" comunque al suo posto (mi spiego: se avessi un campo vettoriale e se cambiassi sistema di riferimento, lo stesso punto fisico dello spazio avrebbe comunque lo stesso valore del campo, anche se in coordinate diverse). Del resto, però, il pull back "riporterebbe" \( T(\phi_{t} (p)) \) a essere definito sullo spazio tangente in p per definizione. Non è una contraddizione? Oppure mi sfugge qualcosa?
"lollo617":
La definizione quindi è intrinsecamente legata alla scelta delle coordinate locali del punto. Giusto?
Per essere chiari: fissato \(V\), abbiamo che per ogni \(p \in M\) esiste un flusso locale \(\Phi \colon U \times [-\varepsilon, \varepsilon] \to U\) dove \(U\) è un intorno aperto di \(p\) e \(\varepsilon > 0\). In questo senso la definizione di \(\Phi\) è locale. In generale, ciò che invece dipende dalla scelta di coordinate locali è l'espressione di \(\Phi\) o di qualsiasi altro oggetto definito su \(M\). N.B. L'espressione \((x^1(t), \ldots, x^n(t))\) è funzione di \(t\) soltanto ed è l'espressione in coordinate locali della curva integrale \(t \mapsto \Phi_t(p)\).
Del resto, però, il pull back "riporterebbe" T(ϕt(p)) a essere definito sullo spazio tangente in p per definizione. Non è una contraddizione? Oppure mi sfugge qualcosa?
Dov'è la contraddizione? È decisamente vero che \(\Phi_t^*\) riporta \(T(\Phi_t(p))\) a essere definito sul tangente in \(p\), in modo da poterne considerare la differenza con \(T(p)\).
Ok, quindi se ho capito bene allora quando un tensore è simmetrico sotto un diffeomorfismo \( \phi \) ( e cioè \( \phi^{*}_{t} T =T \) ) questo significa che la forma del tensore sugli spazi tangenti definiti in p e in \( \phi_{t} (p) \) è esattamente la stessa. In questo senso la variazione del tensore lungo il campo vettoriale che definisce \( \phi \) ( cioè è la derivata di Lie) è nulla. Corretto?
Corretto 
Grande, grazie mille! 
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