Derivata covariante / Differenziale covariante
Una domanda di terminologia. Spero che qualcuno mi aiuti perché in caso contrario dovrò cercare la risposta sul bestiale Kobayashi - Nomizu, sicuramente il libro più difficile che io abbia mai visto. ](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Sia \(\nabla\) una connessione sulla varietà \(M\), ovvero una applicazione \(\nabla \colon \mathfrak{X}(M)\times \mathfrak{X}(M) \to \mathfrak{X}(M)\) con le proprietà
[list=1][*:3mljpeua] \[\nabla_{fX+gY}Z=f\nabla_X Z+ g \nabla _Y Z, ;\][/*:m:3mljpeua]
[*:3mljpeua] \begin{align*}\nabla_X (Y+Z)=\nabla_X Y+\nabla_X Z,\\
\nabla_X (fY)=(Xf)Y+f\nabla_X Y.
\end{align*}[/*:m:3mljpeua][/list:o:3mljpeua]
dove \(f, g \in C^\infty, X, Y, Z \in \mathfrak{X}(M)\). Sia fissato un campo vettoriale \(Y\). Che cosa sono la derivata covariante e il differenziale covariante di \(Y\)? A quanto capisco io, la derivata covariante è il tensore di tipo \((1, 1)\) definito da
\[(\nabla Y)(X)=\nabla_X Y,\qquad \forall X \in \mathfrak{X}(M).\]
Corretto? Ma allora il differenziale covariante cos'è? Sui vari libri che ho consultato non c'è uniformità di linguaggio.
_______________
Notazioni:
\(\mathfrak{X}(M)=\) \(C^\infty\)-modulo dei campi vettoriali differenziabili su \(M\).
Sia \(\nabla\) una connessione sulla varietà \(M\), ovvero una applicazione \(\nabla \colon \mathfrak{X}(M)\times \mathfrak{X}(M) \to \mathfrak{X}(M)\) con le proprietà
[list=1][*:3mljpeua] \[\nabla_{fX+gY}Z=f\nabla_X Z+ g \nabla _Y Z, ;\][/*:m:3mljpeua]
[*:3mljpeua] \begin{align*}\nabla_X (Y+Z)=\nabla_X Y+\nabla_X Z,\\
\nabla_X (fY)=(Xf)Y+f\nabla_X Y.
\end{align*}[/*:m:3mljpeua][/list:o:3mljpeua]
dove \(f, g \in C^\infty, X, Y, Z \in \mathfrak{X}(M)\). Sia fissato un campo vettoriale \(Y\). Che cosa sono la derivata covariante e il differenziale covariante di \(Y\)? A quanto capisco io, la derivata covariante è il tensore di tipo \((1, 1)\) definito da
\[(\nabla Y)(X)=\nabla_X Y,\qquad \forall X \in \mathfrak{X}(M).\]
Corretto? Ma allora il differenziale covariante cos'è? Sui vari libri che ho consultato non c'è uniformità di linguaggio.
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Notazioni:
\(\mathfrak{X}(M)=\) \(C^\infty\)-modulo dei campi vettoriali differenziabili su \(M\).
Risposte
Hai provato a leggere il buon Nacinovich, che ne parla a pagina 52?
Io ho solo studiato la derivata covariante e non ho mai sentito parlare di differenziale covariante però... non è che, sotto sotto, c'è un giochino di dualità? Qualcosa del tipo: derivi i campi vettoriali, differenzi le forme (?). Probabilmente sto solo sparando sciocchezze, quindi taccio. Mi premeva però darti il riferimento bibliografico.
Io ho solo studiato la derivata covariante e non ho mai sentito parlare di differenziale covariante però... non è che, sotto sotto, c'è un giochino di dualità? Qualcosa del tipo: derivi i campi vettoriali, differenzi le forme (?). Probabilmente sto solo sparando sciocchezze, quindi taccio. Mi premeva però darti il riferimento bibliografico.
A parte che "i libri dei giapponesi sono tutti tosti" (cit., di cui in parte dissento; dato che ho studiato una parte dello Yosida Functional Analysis e non mi sono trovato così male).
Comunque, questi argomenti sono trattati anche in Dubrovin B.-Fomenko-Novikov Modern Geometry. Methods and Applications in uno dei 2 o 3 volumi; io ho i 3 volumi in italiano e mi trovo benissimo.
Comunque, questi argomenti sono trattati anche in Dubrovin B.-Fomenko-Novikov Modern Geometry. Methods and Applications in uno dei 2 o 3 volumi; io ho i 3 volumi in italiano e mi trovo benissimo.
@Paolo: Ho visto, grazie. Non che ci abbia capito molto: lì si segue un approccio ultra-astratto illeggibile per me. (Ma perché i geometri differenziali, almeno nei corsi universitari, non seguono lo stile chiaro di autori come Do Carmo e Spivak? Poi, nei corsi superiori, possono iniziare alla loro dottrina esoterica i loro seguaci. Ma almeno con i comuni mortali come me potrebbero lasciar trapelare qualche idea dietro tutto questo generalized abstract nonsense).
Comunque mi pare di capire che "derivata covariante" è il risultato dell'applicazione dell'operatore \(\nabla_X \) ad un campo vettoriale \(Y\) ed è un campo vettoriale, mentre "differenziale covariante" indica qualche concetto superiore che non sono in grado di comprendere.
Mi pare di intuire però che l'operazione che indicavo sopra verrebbe chiamata da Nacinovich "differenziale covariante", quindi per il momento adotto questa terminologia.
@Armando: Scrivevo contemporaneamente a te.
Comunque mi pare di capire che "derivata covariante" è il risultato dell'applicazione dell'operatore \(\nabla_X \) ad un campo vettoriale \(Y\) ed è un campo vettoriale, mentre "differenziale covariante" indica qualche concetto superiore che non sono in grado di comprendere.
Mi pare di intuire però che l'operazione che indicavo sopra verrebbe chiamata da Nacinovich "differenziale covariante", quindi per il momento adotto questa terminologia.
@Armando: Scrivevo contemporaneamente a te.
"dissonance":
...Ma perché i geometri differenziali, almeno nei corsi universitari, non seguono lo stile chiaro di autori come Do Carmo e Spivak? Poi, nei corsi superiori, possono iniziare alla loro dottrina esoterica i loro seguaci. Ma almeno con i comuni mortali come me potrebbero lasciar trapelare qualche idea dietro tutto questo generalized abstract nonsense...
In effetti, ora che ci penso: concordo! Ed aggiungo che non ti suggerisco altre letture, dato che quello è l'unico testo chiaro ed attinente che conosco.
Dello stesso genere esoterico sono Abate - Tovena, lo dico perché trattano questi argomenti e quindi...
[OT]
Il corso che ho seguito (un'introduzione alla Geometria Differenziale) era improntato proprio sul Do Carmo. Molto chiaro come testo!
"dissonance":
Ma perché i geometri differenziali, almeno nei corsi universitari, non seguono lo stile chiaro di autori come Do Carmo e Spivak?
Il corso che ho seguito (un'introduzione alla Geometria Differenziale) era improntato proprio sul Do Carmo. Molto chiaro come testo!
"Paolo90":
Hai provato a leggere il buon Nacinovich, che ne parla a pagina 52?
Non ci capisco nulla, ma la notazione sembra invitante! XD D'altra parte è Nacinovich, non gli si può chiedere di lasciar trasparire qualche idea, credo che ne vada del suo orgoglio professionale!
Me lo immagino sempre seduto al tavolino che si chiede: "Uhm, come potrei dire in modo ancora più criptico questo facilissimo concetto?" (E' uno, ricordiamo, che ha pubblicato un libro di Geometria 1, chiamato Elementi di Geometria Analitica, che il sottoscritto ha comprato, in cui inizia rifacendo la teoria dei gruppi e relegando il teorema di Cayley ad una nota).
OUT OF SELF [Stavolta non mi sto zitto!]
maurer per cortesia, cerchiamo di non iniziare\continuare una querelle inutile sul come esporre\insegnare\"fare" la matematica!
Grazie.
Armando
maurer per cortesia, cerchiamo di non iniziare\continuare una querelle inutile sul come esporre\insegnare\"fare" la matematica!
Grazie.
Armando
Yes yes, era così, per dire che non mi sarei aspettato niente di diverso da quell'autore.
Comunque googlando ho trovato questo, ma non posso esprimermi sull'affidabilità. Definisce esplicitamente il differenziale covariante di un campo tensoriale lungo una curva.
Ma non è che magari si parla di differenziale covariante semplicemente quando si sostituiscono ai campi vettoriali oggetti più "generali", come, appunto, i campi tensoriali?
Comunque googlando ho trovato questo, ma non posso esprimermi sull'affidabilità. Definisce esplicitamente il differenziale covariante di un campo tensoriale lungo una curva.
Ma non è che magari si parla di differenziale covariante semplicemente quando si sostituiscono ai campi vettoriali oggetti più "generali", come, appunto, i campi tensoriali?
"maurer":
quando si sostituiscono ai campi tensoriali oggetti più "generali", come, appunto, i campi tensoriali?
(ma dai in un forum di matematica non può mancare una faccina che fa "uhm"!)
XD editato! 
Ah c'è il modo per trovarne altre! Smetto con l'off topic buone derivate! 
@maurer: Grazie!! Quella voce della EOM conferma quanto congetturavo nel mio post precedente: nei Comments finali dice
Nell'articolo spiega pure che il linguaggio qua non è proprio universale e che più o meno ognuno dice "derivata" o "differenziale" come gli pare. Ok, ma tanto ormai ci siamo abituati e ci adeguiamo pure noi.
Vorrei segnalare, visto che ci sono, un libro classico ma decisamente più accessibile rispetto a Kobayashi-Nomizu: si tratta di Helgason, "Differential geometry and symmetric spaces" , Acad. Press (1962), c'è anche nella bibliografia del link di maurer. Il primo capitolo parla proprio di queste cose. L'ho trovato oggi pomeriggio mentre facevo un po' di ricerche qua e là e per quel poco che ho letto mi è piaciuto. Pure gli esercizi sono interessanti.
Riguardo la questione Nacinovich, sono contento che anche una persona con i tuoi interessi condivida queste mie impressioni. Temevo fossi io ad avere un quadro troppo parziale: in fin dei conti, per me la geometria differenziale è un (utilissimo) strumento, non qualcosa di interessante per se.
The phrase "covariant differential" is more commonly used for the \((r, s+1)\) tensor field \(\nabla U\) [...]
Nell'articolo spiega pure che il linguaggio qua non è proprio universale e che più o meno ognuno dice "derivata" o "differenziale" come gli pare. Ok, ma tanto ormai ci siamo abituati e ci adeguiamo pure noi.
Vorrei segnalare, visto che ci sono, un libro classico ma decisamente più accessibile rispetto a Kobayashi-Nomizu: si tratta di Helgason, "Differential geometry and symmetric spaces" , Acad. Press (1962), c'è anche nella bibliografia del link di maurer. Il primo capitolo parla proprio di queste cose. L'ho trovato oggi pomeriggio mentre facevo un po' di ricerche qua e là e per quel poco che ho letto mi è piaciuto. Pure gli esercizi sono interessanti.
Riguardo la questione Nacinovich, sono contento che anche una persona con i tuoi interessi condivida queste mie impressioni. Temevo fossi io ad avere un quadro troppo parziale: in fin dei conti, per me la geometria differenziale è un (utilissimo) strumento, non qualcosa di interessante per se.
Posso chiederti, allora, per che cosa la stai utilizzando questa volta?
A me piace la geometria differenziale (anche se so poco, di vera geometria differenziale), ma sono leggermente più orientato alla geometria complessa (per via del GAGA)...
Ah se parliamo di vera geometria differenziale io non ne so assolutamente nulla. Come strumento invece mi interessano le applicazioni alla teoria spettrale, all'analisi armonica e alle equazioni differenziali (altri argomenti di cui pure non so nulla, se è per questo). Per esempio adesso, per la tesi, stavo studiando delle disuguaglianze di tipo Hardy, il cui prototipo è la seguente (\(n \ge 3\)):
\[C\int_{\mathbb{R}^n}\frac{\lvert \psi(x)\rvert^2}{\lvert x \rvert^2}\, dx\le \int_{\mathbb{R}^n}\lvert \nabla \psi(x)\rvert^2\, dx,\qquad \forall \psi \in C_c^{\infty}(\mathbb{R}^n).\]
Il membro destro si può riscrivere come forma quadratica associata al Laplaciano:
\[-\int_{\mathbb{R}^n}\Delta \psi \bar{\psi}\, dx\]
il che fa intervenire la teoria spettrale di questo operatore, un argomento molto ricco di collegamenti con la geometria (cfr. Paragrafo 7, ad esempio). Se poi vuoi ottenere risultati riguardanti operatori diversi da \(-\Delta\), la questione si complica e avere un buon quadro geometrico diventa sempre più importante.
\[C\int_{\mathbb{R}^n}\frac{\lvert \psi(x)\rvert^2}{\lvert x \rvert^2}\, dx\le \int_{\mathbb{R}^n}\lvert \nabla \psi(x)\rvert^2\, dx,\qquad \forall \psi \in C_c^{\infty}(\mathbb{R}^n).\]
Il membro destro si può riscrivere come forma quadratica associata al Laplaciano:
\[-\int_{\mathbb{R}^n}\Delta \psi \bar{\psi}\, dx\]
il che fa intervenire la teoria spettrale di questo operatore, un argomento molto ricco di collegamenti con la geometria (cfr. Paragrafo 7, ad esempio). Se poi vuoi ottenere risultati riguardanti operatori diversi da \(-\Delta\), la questione si complica e avere un buon quadro geometrico diventa sempre più importante.
Ok, grazie di aver soddisfatto la mia curiosità!
Io il laplaciano lo conosco solo (di sfuggita) per via dei collegamenti con la teoria della decomposizione di Hodge, ma, appunto, per me è semplicemente un operatore null-homotopic nel senso dell'algebra omologica e mi sfugge il suo significato analitico / fisico. Certo che non mi dispiacerebbe recuperare l'altra faccia della medaglia! Leggerò con curiosità l'articolo di Tao!
Io il laplaciano lo conosco solo (di sfuggita) per via dei collegamenti con la teoria della decomposizione di Hodge, ma, appunto, per me è semplicemente un operatore null-homotopic nel senso dell'algebra omologica e mi sfugge il suo significato analitico / fisico. Certo che non mi dispiacerebbe recuperare l'altra faccia della medaglia!
Leggerò con curiosità l'articolo di Tao!
Tanto per tornare off topic, a me le geometria differenziale attraeva tantissimo come soggetto in sé, ma per ora dal poco che ho visto l'ho scoperta un po' troppo calcolosa per i miei gusti.
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