Densità in topologia
Ciao a tutti,
premetto che sono un autodidatta, quindi la mia padronanza tecnica degli argomenti è approssimativa.
Mi sto avventurando nello studio della topologia e ci sono parecchi concetti che faccio fatica a comprendere. O meglio, a visualizzare.
Uno di questi è quello di densità.
Ci sono tre definizioni di densità negli spazi topologici che ho trovato:
1) "Un sottoinsieme A di X è denso in X se l'unico sottoinsieme chiuso di X contenente A è X stesso, ovvero la chiusura di A è X". Questo credo di visualizzarlo abbastanza bene: un sottoinsieme è denso in X, se ogni punto di X appartiene ad A o è estremamente vicino ad A e quindi è nella chiusura di A (perdonate come sempre le brutalità tecniche, ma è solo per visualizzare la cosa)
2) "Ogni sottoinsieme aperto non vuoto di X interseca A". Qui proprio brancolo nel buio. Qualcuno può aiutarmi?
3) "Se A e B sono sottoinsiemi di uno spazio topologico e A⊂B diremo che A è denso in B se B⊂[A] " Qui ho un dubbio: se A⊂B e B⊂[A], B e la parte interna di A non dovrebbero coincidere?
Vi ringrazio in anticipo per i chiarimenti che potrete darmi e mi scuso se sono troppo zuccone.
Luca
premetto che sono un autodidatta, quindi la mia padronanza tecnica degli argomenti è approssimativa.
Mi sto avventurando nello studio della topologia e ci sono parecchi concetti che faccio fatica a comprendere. O meglio, a visualizzare.
Uno di questi è quello di densità.
Ci sono tre definizioni di densità negli spazi topologici che ho trovato:
1) "Un sottoinsieme A di X è denso in X se l'unico sottoinsieme chiuso di X contenente A è X stesso, ovvero la chiusura di A è X". Questo credo di visualizzarlo abbastanza bene: un sottoinsieme è denso in X, se ogni punto di X appartiene ad A o è estremamente vicino ad A e quindi è nella chiusura di A (perdonate come sempre le brutalità tecniche, ma è solo per visualizzare la cosa)
2) "Ogni sottoinsieme aperto non vuoto di X interseca A". Qui proprio brancolo nel buio. Qualcuno può aiutarmi?
3) "Se A e B sono sottoinsiemi di uno spazio topologico e A⊂B diremo che A è denso in B se B⊂[A] " Qui ho un dubbio: se A⊂B e B⊂[A], B e la parte interna di A non dovrebbero coincidere?
Vi ringrazio in anticipo per i chiarimenti che potrete darmi e mi scuso se sono troppo zuccone.
Luca
Risposte
devi mostrare che le due definizioni di densità sono equivalenti, cioè che $A$ è denso (in $X$: la densità è sempre relativa a uno spazio ambiente) secondo la definizione 1 se e solo se è denso secondo la definizione 2.
Prova a pensare al motivo; un suggerimento per iniziare a capirlo è mostrare che, se $U$ è un aperto non vuoto che non interseca $A$, $U^c$ (il complementare di $U$) è un chiuso che contiene $A$, e che è più piccolo di tutto $X$. Quindi \(\lnot 2\Rightarrow\lnot 1\). Se riesci a capire questa dimostrazione, l'implicazione inversa si basa sulla stessa idea.
Per quanto riguarda 3, cos'è $[A]$?
Prova a pensare al motivo; un suggerimento per iniziare a capirlo è mostrare che, se $U$ è un aperto non vuoto che non interseca $A$, $U^c$ (il complementare di $U$) è un chiuso che contiene $A$, e che è più piccolo di tutto $X$. Quindi \(\lnot 2\Rightarrow\lnot 1\). Se riesci a capire questa dimostrazione, l'implicazione inversa si basa sulla stessa idea.
Per quanto riguarda 3, cos'è $[A]$?
"megas_archon":Credo che s'intenda \(\overline{A}\) (la chiusura di \(A\)).
[...] Per quanto riguarda 3, cos'è $[A]$?
"megas_archon":
devi mostrare che le due definizioni di densità sono equivalenti, cioè che $A$ è denso (in $X$: la densità è sempre relativa a uno spazio ambiente) secondo la definizione 1 se e solo se è denso secondo la definizione 2.
Prova a pensare al motivo; un suggerimento per iniziare a capirlo è mostrare che, se $U$ è un aperto non vuoto che non interseca $A$, $U^c$ (il complementare di $U$) è un chiuso che contiene $A$, e che è più piccolo di tutto $X$. Quindi \(\lnot 2\Rightarrow\lnot 1\). Se riesci a capire questa dimostrazione, l'implicazione inversa si basa sulla stessa idea.
Per quanto riguarda 3, cos'è $[A]$?
Ti ringrazio. Ho capito il punto 2. Ho solo un dubbio: perché U deve essere non vuoto? La definizione 1 non sarebbe violata anche se U fosse vuoto visto che, intuitivamente, ci sarebbe comunque un "buco" in X?
Nel punto 3 confermo che [A] è la chiusura di A. Come ti dicevo, se A⊂B e B⊂[A], mi sembra che B e la parte interna di A coincidano. Volevo capire se è un'idea corretta
Se $U$ è vuoto, non c'è nessun buco in \(X\setminus U=X\)...
Nel punto 3, $QQ$ è denso in $RR$, ma ha interno vuoto, e certamente $RR$ non è vuoto. Questo per dire che $A$ potrebbe tranquillamente avere interno vuoto ed essere denso.
La topologia generale è controintuitiva, sì.
Nel punto 3, $QQ$ è denso in $RR$, ma ha interno vuoto, e certamente $RR$ non è vuoto. Questo per dire che $A$ potrebbe tranquillamente avere interno vuoto ed essere denso.
La topologia generale è controintuitiva, sì.
"megas_archon":
Se $U$ è vuoto, non c'è nessun buco in \(X\setminus U=X\)...
Nel punto 3, $QQ$ è denso in $RR$, ma ha interno vuoto, e certamente $RR$ non è vuoto. Questo per dire che $A$ potrebbe tranquillamente avere interno vuoto ed essere denso.
La topologia generale è controintuitiva, sì.
Ti ringrazio. Ho capito il punto 2, ma non il punto 3. Perché parli di interno vuoto per A? Sicuramente c'è qualcosa che mi sfugge nella definizione
Sì, c'è sicuramente qualcosa che non capisci nella definizione di interno, perché te lo immagini come qualcosa di esteso, se il sottoinsieme è esteso. Non è così: c'è pieno di insiemi che sono abbastanza rarefatti da avere interno vuoto, ma abbastanza sparsi dappertutto da esser densi. L'esempio classico è $QQ$ in $RR$: è denso, come potrai facilmente dimostrare, e ha interno vuoto, come potrai facilmente dimostrare.
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