Delucidazioni su Sistema lineare

[ndrels]

Salve a tutti, volevo sapere se questo esercizio è giusto così come l'ho svolto:
\(\begin{pmatrix}
3 &3 &k \\
1&2 &1 \\
(k+3)&3 &6
\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}
x\\y
\\z

\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
k\\(k-1)
\\2

\end{pmatrix}\)

\(\det(A)=k^2-3k-18\)

\(Rg(A)=3\) per \(k\neq6\) o \(-3\)
\(Rg(A)=2\) per \(k=6\) o \(-3\)

Sostituendo sia 6 che -3 alla matrice completa \(C\) ho calcolato che il determinante di \(C\) è diverso da 0, dunque per Rouchè-Capelli \(Rg(A)=2\); \(Rg(C)=3\) il sistema è incompatibile nel caso in cui \(k=6\) o \(k=-3\)

Per \(k\neq6\) oppure \(k\neq-3\) ho calcolato il determinante della matrice completa:

\(\begin{pmatrix}
3 &3 &k \\
1&2 &(k-1) \\
(k+3)&3 &2
\end{pmatrix}\)

ottenendo: \(Det(C)=k^2-6k+6\)

\(Rg(C)=3\) (per ogni valore di k il determinante è sempre diverso da 0)
\(Rg(C)=Rg(A)=3\) quindi il sistema è compatibile e ha una soluzione, che posso trovare con Cramer (riporto solo la x, così il post non si allunga troppo):

\(\begin{pmatrix}
k &3 &k \\(k-1)
&2 &1 \\2
&3 &6
\end{pmatrix}\)

\(x=\frac{3k^2-16k+24}{k^2-3k-18}\)

Può qualcuno gentilmente dirmi se sia giusto come l'ho risolto?
Vi ringrazio

[ndrels]

Anche un "giusto" o "sbagliato" sarebbe utilissimo