Delucidazioni su gruppi, anelli e campi
Ciao, frequento il primo anno di ingegneria dell' informazione e uno dei corsi che devo seguire e Geometria ed Algebra.
vorrei avere se possibile dei chiarimenti sui gruppi, anelli, campi.
ditemi se quello che ho capito è corretto :
-Un GRUPPO è un insieme non vuoto, con un operazione necessariamente associativa (se poi è anche commutativa è un gruppo abeliano), l'esistenza di un elemento neutro e per ogni elemento esiste il suo inverso;
-Un ANELLO è sempre un insieme non vuoto con due operazioni, somma e prodotto (devono essere per forza queste ?);
l' insieme e la somma devono essere un gruppo abeliano; il prodotto deve essere associativo e distributivo per la somma;
-un CAMPO è un anello che è sempre un gruppo abeliano con la somma e rimane un gruppo abeliano per il prodotto anche senza lo 0.
P.S: perchè (Z,+,*) non è un campo mentre è un anello ?
vorrei avere se possibile dei chiarimenti sui gruppi, anelli, campi.
ditemi se quello che ho capito è corretto :
-Un GRUPPO è un insieme non vuoto, con un operazione necessariamente associativa (se poi è anche commutativa è un gruppo abeliano), l'esistenza di un elemento neutro e per ogni elemento esiste il suo inverso;
-Un ANELLO è sempre un insieme non vuoto con due operazioni, somma e prodotto (devono essere per forza queste ?);
l' insieme e la somma devono essere un gruppo abeliano; il prodotto deve essere associativo e distributivo per la somma;
-un CAMPO è un anello che è sempre un gruppo abeliano con la somma e rimane un gruppo abeliano per il prodotto anche senza lo 0.
P.S: perchè (Z,+,*) non è un campo mentre è un anello ?
Risposte
Ciao andros, quello che hai scritto è a grandi linee corretto, ma ci sono alcune cose da chiarire un po meglio. D'ora in poi indicherò con "G" l'insieme in questione, supponendo che non sia vuoto.
La tua definizione di gruppo non è sbagliata ma neanche completa: Sia "&" un'operazione. Perché (G,&) costituisca un gruppo deve verificarsi quello che dici tu, ma inoltre & deve essere un'operazione binaria e interna su G, il che significa che per ogni coppia(Si dice operazione binaria proprio perché gli elementi sono due) di elementi di G combinati secondo "&" il risultato deve essere ancora un elemento di G(e per questo si dice che è un'operazione interna).
ESEMPIO
(N+{0}, - )
L'insieme costituito dai numeri naturali compreso lo 0 e la normale operazione di sottrazione("-") non costituiscono un gruppo, perché rispetto a questo insieme l'operazione "-" non è interna: Es. 5 e 6 sono entrambi appartenenti a N+{0},
ma 5-6=-1 e -1 non appartiene a N+{0} .
FINE ESEMPIO
Per quel che riguarda gli anelli invece: Entrambe le due operazioni associate all'insieme devono essere binarie e interne. In genere la prima operazione si indica con "+" e si chiama somma, la seconda si scrive " * " ed è chiamata prodotto, ma questa è solo una convenzione sui simboli, e le due operazioni non devono necessariamente essere quelle classiche tra numeri reali(Possono comunque esserlo). Per esempio, se ho (G,+,*) posso definire il prodotto così: a*b=a*b-b e in mille altri modi. Per il resto quello che dici sugli anelli è corretto.
Quello che dici sui campi è giusto.
Che (Z,+,*) è un anello lo vedi applicando la definizione: (Z,+) è un gruppo abeliano, il " * " è associativo e distributivo rispetto alla somma.
Però affinché (Z,+,*) sia un campo (Z-{0},*) deve essere un gruppo abeliano e non lo è, non è neanche un gruppo. Vediamo perché:
Anzitutto, in Z-{0} l'operazione " * " è associativa, e c'è l'elemento neutro, che è 1, quindi fin qui tutto bene. Però per ogni elemento "a" di Z-{0} deve esistere anche l'inverso rispetto all'operazione " * ", cioè quell'elemento "b" sempre appartenente a Z-{0} tale che a*b=1. Ma perché sia a*b=1 deve necessariamente essere b=1/a, e se "a" è un elemento di Z-{0} non lo è 1/a , che invece appartiene a Q. Quindi (Z,+,*) non è un campo perché (Z-{0}, *) non è un gruppo in quanto gli elementi di Z-{0} non hanno l'inverso moltiplicativo.
Spero di essere stato chiaro, ma se così non fosse chiedimi pure cosa non hai capito della risposta.
La tua definizione di gruppo non è sbagliata ma neanche completa: Sia "&" un'operazione. Perché (G,&) costituisca un gruppo deve verificarsi quello che dici tu, ma inoltre & deve essere un'operazione binaria e interna su G, il che significa che per ogni coppia(Si dice operazione binaria proprio perché gli elementi sono due) di elementi di G combinati secondo "&" il risultato deve essere ancora un elemento di G(e per questo si dice che è un'operazione interna).
ESEMPIO
(N+{0}, - )
L'insieme costituito dai numeri naturali compreso lo 0 e la normale operazione di sottrazione("-") non costituiscono un gruppo, perché rispetto a questo insieme l'operazione "-" non è interna: Es. 5 e 6 sono entrambi appartenenti a N+{0},
ma 5-6=-1 e -1 non appartiene a N+{0} .
FINE ESEMPIO
Per quel che riguarda gli anelli invece: Entrambe le due operazioni associate all'insieme devono essere binarie e interne. In genere la prima operazione si indica con "+" e si chiama somma, la seconda si scrive " * " ed è chiamata prodotto, ma questa è solo una convenzione sui simboli, e le due operazioni non devono necessariamente essere quelle classiche tra numeri reali(Possono comunque esserlo). Per esempio, se ho (G,+,*) posso definire il prodotto così: a*b=a*b-b e in mille altri modi. Per il resto quello che dici sugli anelli è corretto.
Quello che dici sui campi è giusto.
Che (Z,+,*) è un anello lo vedi applicando la definizione: (Z,+) è un gruppo abeliano, il " * " è associativo e distributivo rispetto alla somma.
Però affinché (Z,+,*) sia un campo (Z-{0},*) deve essere un gruppo abeliano e non lo è, non è neanche un gruppo. Vediamo perché:
Anzitutto, in Z-{0} l'operazione " * " è associativa, e c'è l'elemento neutro, che è 1, quindi fin qui tutto bene. Però per ogni elemento "a" di Z-{0} deve esistere anche l'inverso rispetto all'operazione " * ", cioè quell'elemento "b" sempre appartenente a Z-{0} tale che a*b=1. Ma perché sia a*b=1 deve necessariamente essere b=1/a, e se "a" è un elemento di Z-{0} non lo è 1/a , che invece appartiene a Q. Quindi (Z,+,*) non è un campo perché (Z-{0}, *) non è un gruppo in quanto gli elementi di Z-{0} non hanno l'inverso moltiplicativo.
Spero di essere stato chiaro, ma se così non fosse chiedimi pure cosa non hai capito della risposta.
quindi dato un anello di insieme {0,1} potrei definire la somma cosi :
0+0=0
0+1=1+0=1
1+1=0
e il prodotto cosi :
0*0=0
0*1=1*0=0
1*1=1
giusto ?
Nel gruppo,per elemento inverso si intende quell' elemento($g^-1$) che insieme a $g$ re stituisce l' elemento neutro( quindi $-g$ per la somma e $1/g$ per il prodotto ) ?
Ma in un campo, per il prodotto lo 0 è proprio escluso o c'è ma deve comunque valere il fatto del gruppo abeliano ?
0+0=0
0+1=1+0=1
1+1=0
e il prodotto cosi :
0*0=0
0*1=1*0=0
1*1=1
giusto ?
Nel gruppo,per elemento inverso si intende quell' elemento($g^-1$) che insieme a $g$ re stituisce l' elemento neutro( quindi $-g$ per la somma e $1/g$ per il prodotto ) ?
Ma in un campo, per il prodotto lo 0 è proprio escluso o c'è ma deve comunque valere il fatto del gruppo abeliano ?
Si, le operazioni le puoi definire così, diciamo pure che ti puoi sbizzarrire con la fantasia nell'inventarne di nuove e assurde.
Quel che dici sull'elemento inverso è giusto.
Non sono sicuro di aver capito la tua domanda sullo 0 e il campo, ma comunque nel campo ci deve essere lo 0(Inteso non necessariamente come il solito 0 ma semplicemente come l'elemento neutro della somma), altrimenti l'insieme e la somma non costituirebbero un gruppo. Però, perché l'anello sia un campo, devi considerare l'insieme(Adesso senza lo 0) con la seconda operazione e verificare che costituiscano un gruppo abeliano.
Esempio
(Q,+,*) è un campo, e Q contiene anche lo 0, se non lo contenesse non avremmo un campo perché non ci sarebbe l'elemento neutro per la somma(E quindi (Q,+) non sarebbe un gruppo). Ma una volta che vedi che (Q,+,*) è un anello, per vedere che è anche un campo devi considerare (Q-{0},*) e non (Q,*).
P.S.
Se anziché considerare (Q-{0},*) tu considerassi (Q,*) non potresti avere un campo in quanto (Q,*) non è un gruppo perché non è vero che tutti gli elementi di Q hanno l'elemento inverso rispetto a " * ". Infatti 0 appartiene a Q ma l'inverso di 0 sarebbe 1/0 che non esiste.
Quel che dici sull'elemento inverso è giusto.
Non sono sicuro di aver capito la tua domanda sullo 0 e il campo, ma comunque nel campo ci deve essere lo 0(Inteso non necessariamente come il solito 0 ma semplicemente come l'elemento neutro della somma), altrimenti l'insieme e la somma non costituirebbero un gruppo. Però, perché l'anello sia un campo, devi considerare l'insieme(Adesso senza lo 0) con la seconda operazione e verificare che costituiscano un gruppo abeliano.
Esempio
(Q,+,*) è un campo, e Q contiene anche lo 0, se non lo contenesse non avremmo un campo perché non ci sarebbe l'elemento neutro per la somma(E quindi (Q,+) non sarebbe un gruppo). Ma una volta che vedi che (Q,+,*) è un anello, per vedere che è anche un campo devi considerare (Q-{0},*) e non (Q,*).
P.S.
Se anziché considerare (Q-{0},*) tu considerassi (Q,*) non potresti avere un campo in quanto (Q,*) non è un gruppo perché non è vero che tutti gli elementi di Q hanno l'elemento inverso rispetto a " * ". Infatti 0 appartiene a Q ma l'inverso di 0 sarebbe 1/0 che non esiste.
Quindi il fatto di escludere lo $0$ per il prodotto da un anello $(Q,+,*)$; quando lo consideriamo campo è dovuto al fatto che per il gruppo abeliano ${Q,*}$ compreso lo $0$ il suo inverso $1/0$ non esiste e quindi non è un gruppo abeliano e di conseguenza neanche un campo, giusto?
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