Delucidazione su teorema di Van-Kampen

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19 ott 2012, 18:34

Considerando lo spazio $R^2-(0,0)$,il gruppo fondamentale è isomorfo a $\mathbb{Z}$. Il piano con "due buchi",se ho utlizzato bene il teorema di Van Kampen, dovrebbe essere isomorfo a $\mathbb{Z} * \mathbb{Z}$, che non è abeliano. Ma il laccio che passa "senza intrecci" attorno ai due buchi ,ovvero $ab$ , non dovrebbe essere simmetrica scambiando i due buchi? Cioè $ab$ non dovrebbe essere equivalente a $ba$? Però questo andrebbe in contraddizione con quanto è stato detto prima, dato che non vi è assegnata una relazione di commutazione nel gruppo?

Risposte

vict85

19 ott 2012, 16:46

Prendi due circonferenze attaccate ad un punto. Questo è un retratto di deformazione di $\displaystyle \mathbb{R}^2 $ meno due punti. Ti sembra che passare prima intorno al primo cerchio e poi intorno al secondo sia lo stesso di passare prima nel secondo e poi nel primo?

elvis3

19 ott 2012, 17:13

@luca96

Ricordati che due lacci sono equivalenti se tra di essi esiste un'omotopia che conserva il punto base.

luca961

19 ott 2012, 18:14

Nel caso delle due circonferenze attaccate per un punto mi viene più naturale pensare che il gruppo fondamentale non sia commutativo. Però un laccio che passa attorno a due punti, data l'arbitrarietà dei punti, non capisco bene come possa non esserlo...

vict85

19 ott 2012, 20:09

"luca96":
Nel caso delle due circonferenze attaccate per un punto mi viene più naturale pensare che il gruppo fondamentale non sia commutativo. Però un laccio che passa attorno a due punti, data l'arbitrarietà dei punti, non capisco bene come possa non esserlo...

Considera una circonferenza e un suo diametro. A questo punto segna che l'ordine positivo è, per esempio, quello orario. Partendo da un estremo del diametro chiama la prima semicirconferenza seguita dal diametro $\displaystyle a $ e la seconda preceduta dal diametro $\displaystyle b $. Il ciclo $\displaystyle ab $ è evidentemente omotopo alla circonferenza. Per quanto riguarda $\displaystyle ba $ l'eliminazione per omotopia del diametro non risulta più possibile.
Il fatto è semplicemente che i due cicli $\displaystyle a $ e $\displaystyle b $ devono partire e arrivare nello stesso punto.

P.S: ma sei del '96? Sono colpito.

elvis3

20 ott 2012, 08:55

@luca96

Pianta due pali nel terreno. Prendi una corda la cui prima metà è colorata di rosso, l'altra di blu. Racchiudi con la corda i due pali, incolla le estremità della corda e fissale a terra in un punto P. Ora dovresti convincerti che non puoi muovere la corda sul terreno lasciando fisso P in modo da scambiare la metà rossa con la metà blu.

N.B. Invece puoi, se anche il punto P è libero di muoversi.