Delucidazione su spazio duale
Ciao a tutti,
sto ripetendo ed approfondendo alcuni concetti di algebra lineare e mi sono imbattuto nella definizione di spazio duale di uno spazio vettoriale.
Formalmente la definizione è semplice, cioè, lo spazio duale di uno spazio vettoriale è l'insieme dei funzionali lineari sul medesimo spazio.
Bene, ma non riesco a "visualizzarlo" o a immaginarlo. Mi potreste aiutare a capire meglio di cosa si tratta, dove viene utilizzato, anche attraverso esempi concreti?
Grazie anticipatamente a tutti.
sto ripetendo ed approfondendo alcuni concetti di algebra lineare e mi sono imbattuto nella definizione di spazio duale di uno spazio vettoriale.
Formalmente la definizione è semplice, cioè, lo spazio duale di uno spazio vettoriale è l'insieme dei funzionali lineari sul medesimo spazio.
Bene, ma non riesco a "visualizzarlo" o a immaginarlo. Mi potreste aiutare a capire meglio di cosa si tratta, dove viene utilizzato, anche attraverso esempi concreti?
Grazie anticipatamente a tutti.
Risposte
E' una costruzione astratta dovuta all'evoluzione della matematica moderna, specie nella scrittura e nel simobolismo.
Ti preannuncio che è una struttura estremamente importante, che torna in Analisi (fatti un giro circa le forme differenziali), Geometria Proiettiva, Fisica ... In pochissimi casi è possibile "visualizzarlo" (sia in senso figurato, sia tecnico), guarda ad esempio, il cosiddetto "Teorema di rappresentazione di Riesz". E' una di quelle idee che stanno sotto a molti concetti e fenomeni, ma che solo dopo secoli arrivano a essere inquadrate bene dall'uomo e dopodichè "presentate" come oggetti matematici.
Ti preannuncio che è una struttura estremamente importante, che torna in Analisi (fatti un giro circa le forme differenziali), Geometria Proiettiva, Fisica ... In pochissimi casi è possibile "visualizzarlo" (sia in senso figurato, sia tecnico), guarda ad esempio, il cosiddetto "Teorema di rappresentazione di Riesz". E' una di quelle idee che stanno sotto a molti concetti e fenomeni, ma che solo dopo secoli arrivano a essere inquadrate bene dall'uomo e dopodichè "presentate" come oggetti matematici.
Grazie per la risposta, però ho dato un occhiata al teorema che mi hai suggerito e, purtroppo, va ben oltre le mie attuali conoscenze matematiche in generale.
Perciò ho pensato di fare un esempio: il più semplice operatore lineare che conosco è quello di derivazione, definito dalla spazio delle funzioni derivabili almeno uno volta con continuità a quello delle funzioni continue(ad esempio e sempre se non mi stia sbagliando in partenza). In tal caso qual è lo spazio duale? ed un funzionale lineare che appartenga a quest'ultimo? Potrebbe essere semplicemente il calcolo della derivata in un punto particolare?
Non so, sono abbastanza perplesso.
Che ne pensi?
Perciò ho pensato di fare un esempio: il più semplice operatore lineare che conosco è quello di derivazione, definito dalla spazio delle funzioni derivabili almeno uno volta con continuità a quello delle funzioni continue(ad esempio e sempre se non mi stia sbagliando in partenza). In tal caso qual è lo spazio duale? ed un funzionale lineare che appartenga a quest'ultimo? Potrebbe essere semplicemente il calcolo della derivata in un punto particolare?
Non so, sono abbastanza perplesso.
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