Delta equazione coniche degeneri
Quando ho una conica degenere, e quindi ho il determinante della matrice che la rappresenta uguale a 0, perché risolvendo l'equazione della conica rispetto a una delle due incognite il $Delta = b^2 - 4*a*c$ è sempre un quadrato perfetto???
Risposte
Sei sicuro? Pure con questa conica ti viene fuori un quadrato perfetto?
\[(y-x)(y+x)=0.\]
(Non è una domanda retorica, non sono sicuro della risposta).
\[(y-x)(y+x)=0.\]
(Non è una domanda retorica, non sono sicuro della risposta).
Scusami forse dovevo specificare che parlo di quelle dove è necessario usare la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado; questa è già in forma canonica.
E vabbé allora riscriviamola così:
\[y^2-x^2=0.\]
Applica qua il tuo metodo: ti viene ancora un quadrato perfetto?
\[y^2-x^2=0.\]
Applica qua il tuo metodo: ti viene ancora un quadrato perfetto?
Allora:
y^2 - x^2 = 0
Calcolo il delta rispetto alla y:
Delta = b^2 - 4*a*c = 0 + 4*x^2 = 4*x^2
È un quadrato perfetto.
y^2 - x^2 = 0
Calcolo il delta rispetto alla y:
Delta = b^2 - 4*a*c = 0 + 4*x^2 = 4*x^2
È un quadrato perfetto.
Non ti so dare la dimostrazione, ma praticamente ad una conica si associano 2 matrici ( sicuramente lo sai già, ma è meglio specificare per capire di che si parla).
Ad esempio:
$x^2+2xy+2y^2-2x+2=0$
$A=((1,2/2),(2/2,2))$
$A=((1,1),(1,2))$
$B=((1,1,-1),(1,2,0),(-1,0,2))$
Il segno del $det(A)$ ci suggerisce il tipo di conica che ci troviamo davanti, ma se $det(B)=0$ la conica si dice degenere o riducibile e sul piano rappresenta una coppia di rette.
Se riscrivo la conica in questo modo, $x^2+2(y-1)x+2(y^2+1)=0$, e risolvo rispetto ad $x$:
$x_(1,2)=-y+1+-sqrt((y-1)^2-2(y^2+1))$
$x_(1,2)=-y+1+-sqrt(-(y+1)^2)$
Praticamente ci viene sempre un quadrato perché se applico questo procedimento la radice "deve andare via" per far si che si possa trovare l'equazione delle 2 rette, che in questo caso esistono nel piano complesso.
Ad esempio:
$x^2+2xy+2y^2-2x+2=0$
$A=((1,2/2),(2/2,2))$
$A=((1,1),(1,2))$
$B=((1,1,-1),(1,2,0),(-1,0,2))$
Il segno del $det(A)$ ci suggerisce il tipo di conica che ci troviamo davanti, ma se $det(B)=0$ la conica si dice degenere o riducibile e sul piano rappresenta una coppia di rette.
Se riscrivo la conica in questo modo, $x^2+2(y-1)x+2(y^2+1)=0$, e risolvo rispetto ad $x$:
$x_(1,2)=-y+1+-sqrt((y-1)^2-2(y^2+1))$
$x_(1,2)=-y+1+-sqrt(-(y+1)^2)$
Praticamente ci viene sempre un quadrato perché se applico questo procedimento la radice "deve andare via" per far si che si possa trovare l'equazione delle 2 rette, che in questo caso esistono nel piano complesso.
Innanzitutto grazie della risposta. Comunque si, anch'io avevo pensato a una motivazione praticamente uguale, pensavo solo che ci fosse una dimostrazione rigorosa. Ma forse hai ragione tu e basta dire questo. Il fatto è che l'unica motivazione che ho trovato in giro è che il determinante della matrice B fosse 0, ma senza nessuna spiegazione. Grazie!
Io studio Ingegneria, le dimostrazioni non rientrano nel mio campo d'azione 
Comunque l'esercitatrice quando ci ha mostrato questa cosa ha detto che non si richiedono quasi mai le equazioni delle 2 rette, mentre in genere si richiede di verificare se è una conica degenere o meno...
Comunque l'esercitatrice quando ci ha mostrato questa cosa ha detto che non si richiedono quasi mai le equazioni delle 2 rette, mentre in genere si richiede di verificare se è una conica degenere o meno...
Una dimostrazione rigorosa c'è, ma per capirne il significato bisogna lavorare nel piano affine.
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