Deformazione di una linea unidimensionale
Iniziamo dalle cose semplici, poi magari qualche giorno potrò passare alle deformazioni in generale. In che modo si può descrivere una particolare deformazione continua di una linea aperta infinita, senza conoscere la forma da cui si parte?
Risposte
Intanto: la nozione di "linea aperta infinita" mi è oscura. Parli forse della retta reale? In tal caso, in \(\mathbb{R}\) munito della distanza standard, \(\mathbb{R}\) non è aperto. Eventualmente intervalli illimitati della forma \( (-\infty, a)\) con \(a < \infty \) sono aperti in \(\mathbb{R}\). Poi:
Quale forma?
La cosa più ragionevole che mi venga in mente è (la parametrizzazione di) una curva, che prende un intervallo aperto della retta, lo torce, lo curva e lo butta nello spazio in maniera differenziabile.
"Caenorhabditis":
[...] senza conoscere la forma da cui si parte?
Quale forma?
La cosa più ragionevole che mi venga in mente è (la parametrizzazione di) una curva, che prende un intervallo aperto della retta, lo torce, lo curva e lo butta nello spazio in maniera differenziabile.
"Delirium":
Intanto: la nozione di "linea aperta infinita" mi è oscura.
Una qualunque linea che non è chiusa, non si interseca e ha lunghezza infinita.
"Delirium":
[quote="Caenorhabditis"][...] senza conoscere la forma da cui si parte?
Quale forma?
[/quote]
La sua curvatura di partenza. Cioè, vorrei sapere se esiste un modo per descrivere una deformazione applicabile a una linea senza sapere a priori se la linea è una retta, una parabola, una sinusoide o quant'altro.
La nozione di omeomorfismo di spazi topologici formalizza l'idea di una deformazione senza strappi (e quindi continua).
Io darei un'occhiata alla nozione di omotopia di cammini, che formalizza il procedimento da te descritto (anche se non ho capito a cosa lo vuoi finalizzare...).
Buongiorno Sig. Nematode!
Supponiamo che $u$ sia un parametro che descrive la tua curva, qualsiasi funzione derivabile applicata ad u prima della parametrizzazione manda la tua curva in una curva in una sua deformazione, potrebbe andare?
Supponiamo che $u$ sia un parametro che descrive la tua curva, qualsiasi funzione derivabile applicata ad u prima della parametrizzazione manda la tua curva in una curva in una sua deformazione, potrebbe andare?
"Delirium":
La nozione di omeomorfismo di spazi topologici formalizza l'idea di una deformazione senza strappi (e quindi continua).
Non mi basta sapere che la deformazione esiste, ne sto cercando una descrizione esplicita.
"Maci86":
Supponiamo che $u$ sia un parametro che descrive la tua curva, qualsiasi funzione derivabile applicata ad u prima della parametrizzazione manda la tua curva in una curva in una sua deformazione, potrebbe andare?
Bene. Come definiamo $u$?
"Seneca":
(anche se non ho capito a cosa lo vuoi finalizzare...)
A niente. Pura curiosità.
Un parametro su un intervallo di $RR$!
"Maci86":
Un parametro su un intervallo di $RR$!
D'accordo, ma come lo calcoliamo?
Non si calcola, esiste! Decidi tu come si muove sull'intervallo, fai conto che sia un tempo con cui ti visiti la curva 
"Maci86":
Non si calcola, esiste! Decidi tu come si muove sull'intervallo, fai conto che sia un tempo con cui ti visiti la curva
Allora penso che non mi basti. Cercavo una descrizione calcolabile della curva, descrizione su cui posso applicare delle ben definite trasformazioni (deformazioni) per pervenire alla descrizione di un'altra curva, il risultato dell deformazione.
Come calcoli $x$ in $f(x)=x^2$, la $x$ non la calcoli, esiste!
Perché hai il nome di un nematode?
Perché hai il nome di un nematode?
"Maci86":
Come calcoli $x$ in $f(x)=x^2$, la $x$ non la calcoli, esiste!
Adesso ho capito, scusa. Penso che possa andare, se mi spieghi bene come determinare la nuova curva se quella di partenza non è una retta.
"Maci86":
Perché hai il nome di un nematode?
Che dire, apprezzo l'eleganza di questo animale.
Mi sembra tutto non dissimile da quanto avevo proposto in partenza, e che è stato bellamente ignorato.
Almeno l'idea (da generalizzare) c'era.
"Delirium":
La cosa più ragionevole che mi venga in mente è (la parametrizzazione di) una curva, che prende un intervallo aperto della retta, lo torce, lo curva e lo butta nello spazio in maniera differenziabile.
Almeno l'idea (da generalizzare) c'era.
"Delirium":
Mi sembra tutto non dissimile da quanto avevo proposto in partenza, e che è stato bellamente ignorato.
Sono mortificato; non avevo compreso il significato di "parametrizzazione della curva".
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