Definzione equivalente di continuità
Supponiamo che per ogni punto $x_0inX$, esiste un sistema fondamentale \( \displaystyle \mathcal{J}_{f(x_0)} \) di intorni di $f(x_0)$ in $Y$ tale che per ogni \( V\in\displaystyle \mathcal{J}_{f(x_0)} \), $f^-1(V)$ è un intorno di $x_0$ in $X$. Allora $f$ è continua, cioè per ogni aperto $BsubeY$ vale che $f^-1(B)$ è aperto in $X$.
Io ho fatto così:
Sia $BsubeY$ aperto, consideriamo $x_0inf^-1(B)$, allora esiste un sistema fondamentale \( \displaystyle \mathcal{J}_{f(x_0)} \) di intorni di $f(x_0)$ in $Y$ tale che per ogni \( V\in\displaystyle \mathcal{J}_{f(x_0)} \), $f^-1(V)$ è un intorno di $x_0$ in $X$. Inoltre $f(x_0)inB$ e essendo $B$ un aperto è intorno di ogni suo punto per cui per definizione di sistema fondamentale esiste \( V\in\displaystyle \mathcal{J}_{f(x_0)} \) tale che $VsubeB$, per cui $f^-1(V)subef^-1(B)$, ora siccome $f^-1(V)$ è un intorno di $x_0$ in $X$ $EEA_{x_0}$ aperto di $X$ tale che $x_0inA_{x_0}subef^-1(V)subef^-1(B)$. Si ha quindi che $AAx_0inf^-1(B)$ $EEA_{x_0}$ aperto di $X$ tale che $x_0inA_{x_0}subef^-1(B)$, da cui $f^-1(B)=uu_{x_0inf^-1(B)}A_{x_0}$ che è aperto poichè unione di aperti.
Direi che può andare bene.
Io ho fatto così:
Sia $BsubeY$ aperto, consideriamo $x_0inf^-1(B)$, allora esiste un sistema fondamentale \( \displaystyle \mathcal{J}_{f(x_0)} \) di intorni di $f(x_0)$ in $Y$ tale che per ogni \( V\in\displaystyle \mathcal{J}_{f(x_0)} \), $f^-1(V)$ è un intorno di $x_0$ in $X$. Inoltre $f(x_0)inB$ e essendo $B$ un aperto è intorno di ogni suo punto per cui per definizione di sistema fondamentale esiste \( V\in\displaystyle \mathcal{J}_{f(x_0)} \) tale che $VsubeB$, per cui $f^-1(V)subef^-1(B)$, ora siccome $f^-1(V)$ è un intorno di $x_0$ in $X$ $EEA_{x_0}$ aperto di $X$ tale che $x_0inA_{x_0}subef^-1(V)subef^-1(B)$. Si ha quindi che $AAx_0inf^-1(B)$ $EEA_{x_0}$ aperto di $X$ tale che $x_0inA_{x_0}subef^-1(B)$, da cui $f^-1(B)=uu_{x_0inf^-1(B)}A_{x_0}$ che è aperto poichè unione di aperti.
Direi che può andare bene.
Risposte
Per chiarirmi le idee: qual è la definizione di continuità da cui tu inizi a ragionare?
"j18eos":
Per chiarirmi le idee: qual è la definizione di continuità da cui tu inizi a ragionare?
Per ogni aperto $BsubeY$ vale che $f^-1(B)$ è aperto in $X$.
...ma allora puoi semplificare notando che per ogni \(\displaystyle V\in\mathcal{I}_{f(x_0)}\), \(\displaystyle x_0\in f^{-1}(V)\) e che questi è un aperto!
"j18eos":
...ma allora puoi semplificare notando che per ogni \(\displaystyle V\in\mathcal{I}_{f(x_0)}\), \(\displaystyle x_0\in f^{-1}(V)\) e che questi è un aperto!
Ma per mostrare che $f$ è continua non devo mostrare che per ogni aperto $ BsubeY $ vale che $ f^-1(B) $ è aperto in $ X $?.
Sì, e dove puoi usare la semplificazione che ti ho proposto? 
Secondo me non vi state capendo su cosa significhi "intorno". Un intorno non è necessariamente aperto, vedere qui. Quindi la dimostrazione di Andrea va bene così.
@Martino Sì, vero!
@andreadel1988 Io suggerivo di semplificare così!
@andreadel1988 Io suggerivo di semplificare così!
"andreadel1988":Ti torna tutto il ragionamento?
[...] Sia $ BsubeY $ aperto, consideriamo $ x_0inf^-1(B) $, allora esiste un sistema fondamentale \( \displaystyle \mathcal{J}_{f(x_0)} \) di intorni di $ f(x_0) $ in $ Y $ tale che per ogni \( V\in\displaystyle \mathcal{J}_{f(x_0)} \), $ f^-1(V)=A_{x_0}$ è un intorno aperto di $ x_0 $ in $ X $ e $ f^-1(V)=A_{x_0}subef^-1(B) $. Si ha quindi che $ AAx_0inf^-1(B) $ $ EEA_{x_0} $ aperto di $ X $ tale che $ x_0inA_{x_0}subef^-1(B) $, da cui $ f^-1(B)=uu_{x_0inf^-1(B)}A_{x_0} $ che è aperto poichè unione di aperti. [...]
"j18eos":Ti torna tutto il ragionamento?[/quote]
@Martino Sì, vero!
@andreadel1988 Io suggerivo di semplificare così![quote="andreadel1988"][...] Sia $ BsubeY $ aperto, consideriamo $ x_0inf^-1(B) $, allora esiste un sistema fondamentale \( \displaystyle \mathcal{J}_{f(x_0)} \) di intorni di $ f(x_0) $ in $ Y $ tale che per ogni \( V\in\displaystyle \mathcal{J}_{f(x_0)} \), $ f^-1(V)=A_{x_0}$ è un intorno aperto di $ x_0 $ in $ X $ e $ f^-1(V)=A_{x_0}subef^-1(B) $. Si ha quindi che $ AAx_0inf^-1(B) $ $ EEA_{x_0} $ aperto di $ X $ tale che $ x_0inA_{x_0}subef^-1(B) $, da cui $ f^-1(B)=uu_{x_0inf^-1(B)}A_{x_0} $ che è aperto poichè unione di aperti. [...]
Non ho capito perchè $f^-1(V)$ dovrebbe essere aperto, mi sto perdendo qualcosa?
Ce ad esempio se consideriamo la funzione $f(x)=x$ $AAx inRR$ se considero $f(0)=0in[-epsilon,epsilon]$ , ($[-epsilon,epsilon]$ appartiene al sistema di intorni fondamentali di $0$: ${[-epsilon,epsilon]|epsilon>0}$, che rispetta la tesi), ma $f^-1($ $[-epsilon,epsilon]$ $)=[-epsilon,epsilon]$ non è aperto in $RR$.
No, dimentica tutto!, ho confuso ipotesi e tesi! 
Perdonami!
Perdonami!
"j18eos":
No, dimentica tutto!, ho confuso ipotesi e tesi!
Perdonami!
A ok ahahahha, non ti preoccupare
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo