Definzione di base

[raff9696]

Salve ragazzi, studiando la teoria di geometria non ho capito due cose:

1)Perchè una base è un insieme linearmente indipendente massimale ( e viceversa)?
2) Perchè un insieme minimale di generatori è una base (e viceversa) ?

Premetto che conosco la definizione di base, insieme linearmente indipendente massimale e nsieme minimale di generatori!
ASpetto vostre notizie .. GRazie

[billyballo2123]

Se $B=\{v_1,\ldots,v_n\}$ è una base, cioè un insieme di vettori linearmente indipendenti che generano lo spazio, allora è anche un insieme massimale di vettori linearmente indipendenti. Infatti se aggiungiamo un QUALUNQUE vettore $v$ dello spazio vettoriale, esisteranno (dato che $B$ genera lo spazio) dei coefficienti $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ tali che
\[
\alpha_1v_1+\ldots+\alpha_nv_n=v
\]
dunque

\[
\alpha_1v_1+\ldots+\alpha_nv_n-v=0.
\]
Quella scritta sopra è una combinazione lineare nulla dei vettori $\{v_1,\ldots,v_n,v\}$ con coefficienti NON tutti nulli (il coefficiente di $v$ è $-1$).
Il viceversa si prova in modo analogo.

[raff9696]

e la domada 2?

[billyballo2123]

Anche quella si dimostra in modo simile. Se $B=\{v_1,\ldots,v_n\}$ è una base, allora è anche in insieme minimale di generatori. Se infatti ci fosse un sottoinsieme proprio $B'\subset B$ di generatori, senza perdita di generalità possiamo supporre $B'=\{v_1,\ldots,v_m\}$ con $m \[
\alpha_1v_1+\ldots+\alpha_m v_m=v_{m+1}
\]
dunque
\[
\alpha_1v_1+\ldots+\alpha_m v_m-v_{m+1}=0.
\]
Anche qui, quella sopra è una combinazione lineare nulla di $\{v_1,\ldots,v_{m+1}\}$ con coefficienti non tutti nulli, che è impossibile dato che $B$ è una base.
Anche in questo caso, il viceversa è molto simile.