Definizione gruppo di omologia
Salve, mi sto avvicinando ora allo studio della topologia algebrica, in particolare all'omologia ma non riesco a immaginarla operativamente e quindi a lavorarci, avrei bisogno di un aiuto.
Io so che il gruppo di omologia di dimensione n è definifito come $H_n(K)=(Z_n(K))//(B_n(K))$ dove $K$ è un complesso simpliciale e nel gruppo quoziente compare il gruppo degli n-cicli e n-bordi. Per questo gli elementi del gruppo di omologia sono classi di equivalenza e due elementi sono nella stessa classe se la loro differenza è un bordo.
Ora però il mio professore parla spesso di generatori del gruppo di omologia, ma non riesco a capire cosa siano... Qualcuno sa come aiutarmi?
Io so che il gruppo di omologia di dimensione n è definifito come $H_n(K)=(Z_n(K))//(B_n(K))$ dove $K$ è un complesso simpliciale e nel gruppo quoziente compare il gruppo degli n-cicli e n-bordi. Per questo gli elementi del gruppo di omologia sono classi di equivalenza e due elementi sono nella stessa classe se la loro differenza è un bordo.
Ora però il mio professore parla spesso di generatori del gruppo di omologia, ma non riesco a capire cosa siano... Qualcuno sa come aiutarmi?
Risposte
Immagino tu abbia fatto un po' di teoria dei gruppi, la definizione di "generatore" è la stessa. Se $G$ è un gruppo (abeliano) un insieme di generatori $S$ è un sottoinsieme di $G$ tale che il più piccolo sottogruppo di $G$ contenente $S$ è l'intero $G$. In particolare, ogni elemento di $G$ si può scrivere mediante operazioni di gruppo partendo da elementi di $S$. Per $G=ZZ$, l'insieme \(\{1\}\) è un insieme di generatori (l'elemento 1 è un generatore); per \(\mathbb Z[X]\) l'insieme di tutte le potenze di $X$ è un insieme di generatori; se $V$ è uno spazio vettoriale, ogni sua base ne è un insieme di generatori... e così via.
Il punto è che nei gruppi di omologia i generatori sono oggetti geometrici, particolari funzioni continue (se il complesso K è pensato come un particolare spazio topologico) oppure particolari funzioni definite in maniera combinatoria (se invece è un complesso simpliciale "astratto").
Il punto è che nei gruppi di omologia i generatori sono oggetti geometrici, particolari funzioni continue (se il complesso K è pensato come un particolare spazio topologico) oppure particolari funzioni definite in maniera combinatoria (se invece è un complesso simpliciale "astratto").
Si, questo mi era chiaro. Il problema è proprio dal punto di vista pratico. Se io ho davanti un gruppo di omologia non riesco a capire quale siano i suoi generatori e questo è un problema..
Beh, ben poche persone riescono a capirlo in generale, non esiste un "algoritmo" nel senso stretto del termine. Se hai davanti uno spazio vettoriale e devi trovarne una base, cosa fai? Qui fai circa la stessa cosa, con l'unica differenza (e questo diventa importante da un certo punto in poi) che quali siano i generatori concreti di un gruppo di omologia è irrilevante, e in effetti solo rumore di fondo: l'unica cosa che ti interessa è la classe di isomorfismo di quel gruppo, o più formalmente (se i coefficienti dell'omologia sono in un PID, come ad esempio Z), ti interessa una sua decomposizione in fattori invarianti: https://en.wikipedia.org/wiki/Structure ... eal_domain
Detto questo, è assai probabile che ti siano stati fatti degli esempi semplici; quali? Cosa non ti è chiaro?
Detto questo, è assai probabile che ti siano stati fatti degli esempi semplici; quali? Cosa non ti è chiaro?
Allora diciamo che uno dei primi esempi incontrati è il seguente:
Vogliamo trovare il gruppo di omologia di un n-simplesso. Quindi abbiamo $\Delta_n =[P_0,..,P_n]$ il mio n-simplesso i cui generatori sono $P_0,..,P_n$. Per trovarlo non utilizziamo la definizione ma utilizziamo il metodo seguente:
Sia $f:[P_0,..,P_n]->[P_0,..,P_n]$ la funzione costante, che manda tutti i punti in $P_0$ e andiamo a valutare
$f_* : H_k(\Delta_n)->H_k(\Delta_n)$ allora l'idea è quella di dimostrare che f è omotopa a $g$ identità su $(\Delta_n)$ in modo che $f_*=g_*$ e quindi potrò definire il gruppo di omologia. Il modo in cui dimostra che le due cose sono omotope mi è chiaro, il modo in cui trova, come conseguenza, i diversi gruppi di omologia n-esimi anche. Il problema è quando cerca di capire chi sia $f_*$ poichè mette in mezzo i generatori. La frase da lui pronunciata è la seguente:
"$f_*=0$ se k>0 poichè i generatori vanno tutti in zero mentre $f_*$ è l'isomorfismo da $\mathbb(Z)$ in se stesso se k=0".
Come faccio a dire una cosa di questa? Chi sono i generatori che vanno in zero?
p.s. i punti sarebbero asterischi, non so perchè non li mette come tali
Vogliamo trovare il gruppo di omologia di un n-simplesso. Quindi abbiamo $\Delta_n =[P_0,..,P_n]$ il mio n-simplesso i cui generatori sono $P_0,..,P_n$. Per trovarlo non utilizziamo la definizione ma utilizziamo il metodo seguente:
Sia $f:[P_0,..,P_n]->[P_0,..,P_n]$ la funzione costante, che manda tutti i punti in $P_0$ e andiamo a valutare
$f_* : H_k(\Delta_n)->H_k(\Delta_n)$ allora l'idea è quella di dimostrare che f è omotopa a $g$ identità su $(\Delta_n)$ in modo che $f_*=g_*$ e quindi potrò definire il gruppo di omologia. Il modo in cui dimostra che le due cose sono omotope mi è chiaro, il modo in cui trova, come conseguenza, i diversi gruppi di omologia n-esimi anche. Il problema è quando cerca di capire chi sia $f_*$ poichè mette in mezzo i generatori. La frase da lui pronunciata è la seguente:
"$f_*=0$ se k>0 poichè i generatori vanno tutti in zero mentre $f_*$ è l'isomorfismo da $\mathbb(Z)$ in se stesso se k=0".
Come faccio a dire una cosa di questa? Chi sono i generatori che vanno in zero?
p.s. i punti sarebbero asterischi, non so perchè non li mette come tali
I generatori che vanno in zero sono quelli del complesso delle $k$-catene per $k\ge 1$, ma è evidente che non hai mai (non ti è mai stato) fatto un conto di questo tipo.
Inizia scrivendo il complesso singolare che vuoi associare a un $n$-simplesso (ti serviranno i simplessi di tutte le dimensioni \(\le n\)), e trovando i differenziali di questo complesso di catene: saranno delle matrici a coefficienti in \(\mathbb Z\), di cui poi dovrai calcolare rango e nucleo. Il fatto che questa cosa sia un complesso implica che la composizione di due matrici contigue fa zero, quindi \(\text{im }d_{n+1}\subseteq \ker d_n\); come saprai l'omologia del complesso è la misura di quanto è grande il complementare di im in ker. Alla fine di tutto, questo è un conto di algebra lineare a coefficienti interi (l'algebra omologica non è molto diversa dall'algebra lineare... almeno all'inizio, finché non compare della torsione).
Inizia scrivendo il complesso singolare che vuoi associare a un $n$-simplesso (ti serviranno i simplessi di tutte le dimensioni \(\le n\)), e trovando i differenziali di questo complesso di catene: saranno delle matrici a coefficienti in \(\mathbb Z\), di cui poi dovrai calcolare rango e nucleo. Il fatto che questa cosa sia un complesso implica che la composizione di due matrici contigue fa zero, quindi \(\text{im }d_{n+1}\subseteq \ker d_n\); come saprai l'omologia del complesso è la misura di quanto è grande il complementare di im in ker. Alla fine di tutto, questo è un conto di algebra lineare a coefficienti interi (l'algebra omologica non è molto diversa dall'algebra lineare... almeno all'inizio, finché non compare della torsione).
Se ho ben capito cosa mi suggerisci, dovrei considerare i complessi di catene dalla dimensione 0 fino ad n e trovare i diversi differenziali. A questo punto il calcolo di $Im(\partial_n)$ e $Ker(\partial_n)$ si fa semplicemente attraverso l'algebra lineare e l'omologia è il gruppo quoziente. Il fatto è che questo ho capito come si fa nella maggior parte dei casi ma non è quello che fa nell'esempio in questione in cui cerca di calcolare i gruppi di omologia delle varie dimensioni senza ricorrere al calcolo esplicito
Sì, perché una volta che hai capito come si fa, non lo farai mai più così, ci sono tecniche più astratte (specie con l'omologia singolare, che è molto meno rigida di quella simpliciale: la seconda vale sugli spazi che ammettono una triangolazione, la prima su quelli che sono omotopi a spazi che ammettono una triangolazione).
Questo è, per esempio, il modo di calcolare l'omologia di una sfera di dimensione 2. https://math.stackexchange.com/question ... e-2-sphere
E' una buona idea rifare il conto su cui OP chiede lumi: prendi 4 0-simplessi, 6 1-simplessi, 4 2-simplessi... il complesso singolare ti viene una cosa del tipo
\[0 \to \mathbb{Z}^4\to \mathbb{Z}^6 \to \mathbb{Z}^4 \to 0\] e ciascun differenziale è una opportuna matrice (ricorda come è definito il differenziale: un $k$-simplesso va nel \((k-1)\)-simplesso dei segni alterni dei simplessi che ne sono il bordo, quindi ad esempio, se gli 0-simplessi si chiamano $a,b,c,d$, il 2-simplesso $abc$ andrà in $bc-ac+ab$, et cetera: in generale,
\[\partial [a_1\dots a_k] = \sum_{j=1}^k (-1)^j [a_1\dots \widehat{a_j}\dots a_k]\]Facendo questo conto ti accorgerai che è cruciale scegliere in maniera coerente un ordinamento nelle basi dei vari gruppi delle catene; tirerai giu diversi santi dal calendario, e alla fine ti troverai in mano una matrice; trovane il rango, trovane il nucleo...)
Da un lato, leggi il primo commento: <>
Dall'altro, leggi la risposta di Najib: <
Instead, we have many tools (theorems) at our disposal to compute the homology of a space.>>
Questo è, per esempio, il modo di calcolare l'omologia di una sfera di dimensione 2. https://math.stackexchange.com/question ... e-2-sphere
E' una buona idea rifare il conto su cui OP chiede lumi: prendi 4 0-simplessi, 6 1-simplessi, 4 2-simplessi... il complesso singolare ti viene una cosa del tipo
\[0 \to \mathbb{Z}^4\to \mathbb{Z}^6 \to \mathbb{Z}^4 \to 0\] e ciascun differenziale è una opportuna matrice (ricorda come è definito il differenziale: un $k$-simplesso va nel \((k-1)\)-simplesso dei segni alterni dei simplessi che ne sono il bordo, quindi ad esempio, se gli 0-simplessi si chiamano $a,b,c,d$, il 2-simplesso $abc$ andrà in $bc-ac+ab$, et cetera: in generale,
\[\partial [a_1\dots a_k] = \sum_{j=1}^k (-1)^j [a_1\dots \widehat{a_j}\dots a_k]\]Facendo questo conto ti accorgerai che è cruciale scegliere in maniera coerente un ordinamento nelle basi dei vari gruppi delle catene; tirerai giu diversi santi dal calendario, e alla fine ti troverai in mano una matrice; trovane il rango, trovane il nucleo...)
Da un lato, leggi il primo commento: <
Dall'altro, leggi la risposta di Najib: <
Instead, we have many tools (theorems) at our disposal to compute the homology of a space.>>
Non ho controllato veramente tutto, perché è ovviamente una noia mortale, ma i differenziali del complesso dovrebbero essere una cosa tipo
\[
d_2 = \left(\begin{smallmatrix}
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 0 & -1 \\
0 & -1 & -1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1 \\
-1 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0
\end{smallmatrix}\right)
\qquad
d_1 = \left(\begin{smallmatrix}
-1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & -1 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right)
\]
la loro composizione \(\mathbb Z^4 \to \mathbb Z^4\) è la mappa zero; entrambe le matrici hanno rango 3. Corollario, il nucleo di $d_2$ ha dimensione 1. Quello di $d_1$ ha dimensione 3. (Formula delle dimensioni). Adesso si tratta di fare dei quozienti, che siccome è tutto libero, sono sottrazioni. Avevo preso le trasposte delle matrici che ho scritto ora, quando ho provato a fare il conto, e adesso non ho tempo (...voglia) di controllare un'altra volta. Fallo tu.
\[
d_2 = \left(\begin{smallmatrix}
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 0 & -1 \\
0 & -1 & -1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1 \\
-1 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0
\end{smallmatrix}\right)
\qquad
d_1 = \left(\begin{smallmatrix}
-1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & -1 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right)
\]
la loro composizione \(\mathbb Z^4 \to \mathbb Z^4\) è la mappa zero; entrambe le matrici hanno rango 3. Corollario, il nucleo di $d_2$ ha dimensione 1. Quello di $d_1$ ha dimensione 3. (Formula delle dimensioni). Adesso si tratta di fare dei quozienti, che siccome è tutto libero, sono sottrazioni. Avevo preso le trasposte delle matrici che ho scritto ora, quando ho provato a fare il conto, e adesso non ho tempo (...voglia) di controllare un'altra volta. Fallo tu.
Allora io sono in grado di calcolare esplicitamente i gruppi di omologia con il metodo che hai detto tu. Tra l'altro a lezione abbiamo visto proprio lo stesso esempio che mi hai fatto. Diciamo però che il mio dubbio non era su come calcolarli esplicitamente bensì nel modo che ti ho scritto 4 messaggi fa. Perchè vorrei capire anche l'altro modo di calcolarli che non prevedere la scrittura esplicita di tutto
Sì, è che non ho capito la domanda: se sai fare questo conto, dovrebbe sembrarti ovvio "chi sono i generatori che vanno in zero": tutti.
Forse non ho capito cosa stai cercando di dirmi.. In generale in quell'esempio io non so chi sono i gruppi di omologia e non devo calcolarli esplicitamente. Perciò io non so chi sono i generatori perchè non so chi è il gruppo di omologia. Ci ho riflettuto un po' ed ho fatto questo ragionamento, non so se può essere corretto:
Io ho $f_*$ che, da definizione universale è data dalle restrizioni dell'omomorfismo $f_#$ su $Z_n (K)$ e $B_n (K)$
( Per chiarezza con $f_#:C_n(K)->C_n(K)$ indico la funzione che manda un n-simplesso $\sigma$ in $f(\sigma)$ se $f(\sigma)$ è n-simplesso, in zero altrimenti)
Stando a quanto detto, sapendo che $f_#(\sigma)$ è uguale a zero se la dimensione è maggiore di zero (dato che f è la funzione che manda tutti i punti in $P_0$) qualsiasi restrizione di questo mi darà l'omomorfismo nullo. Di conseguenza anche $f_*$ sarà nullo.
Può andare bene?
Io ho $f_*$ che, da definizione universale è data dalle restrizioni dell'omomorfismo $f_#$ su $Z_n (K)$ e $B_n (K)$
( Per chiarezza con $f_#:C_n(K)->C_n(K)$ indico la funzione che manda un n-simplesso $\sigma$ in $f(\sigma)$ se $f(\sigma)$ è n-simplesso, in zero altrimenti)
Stando a quanto detto, sapendo che $f_#(\sigma)$ è uguale a zero se la dimensione è maggiore di zero (dato che f è la funzione che manda tutti i punti in $P_0$) qualsiasi restrizione di questo mi darà l'omomorfismo nullo. Di conseguenza anche $f_*$ sarà nullo.
Può andare bene?
Sai due cose:
1. Sai chi sono i generatori del gruppo delle catene. Il resto è fare il conto: nuclei, immagini, quozienti.
2. Sai che un omomorfismo da un libero è zero se e solo se è zero sui generatori, per la proprietà universale del gruppo abeliano libero.
1. Sai chi sono i generatori del gruppo delle catene. Il resto è fare il conto: nuclei, immagini, quozienti.
2. Sai che un omomorfismo da un libero è zero se e solo se è zero sui generatori, per la proprietà universale del gruppo abeliano libero.
Okok grazie
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