Definizione equivalente di omeomorfismo

[natia88]

Sia f:(X,t)->(Y,s) un'applicazione biettiva e continua fra spazi topologici. Allora f è un omeomorfismo se e solo se f è un'applicazione aperta, cioè se f manda insiemi aperti in insiemi aperti cioè se vale U appartiene a t implica che f(U) appartiene a s. Dimostrarlo.

Io ho scritto che è banale poichè per definizione f è biettiva e continua. Secondo voi dovrei aggiungere altro?

[j18eos]

Essendo [tex]f[/tex] continua e biettiva si può parlare della sua funzione inversa [tex]f^{-1}[/tex] la quale è un'applicazione aperta; per definizioni, se e solo se [tex]f[/tex] fosse aperta [tex]f^{-1}[/tex] sarebbe continua e quindi [tex]f[/tex] risulta un omeomorfismo per definizione.

[natia88]

si,in effetti così è più specifica...grazie!

[j18eos]

prego!

[dissonance]

"j18eos":Essendo [tex]f[/tex] continua e biettiva si può parlare della sua funzione inversa [tex]f^{-1}[/tex] la quale è un'applicazione aperta; per definizioni, se e solo se [tex]f[/tex] fosse aperta [tex]f^{-1}[/tex] sarebbe continua e quindi [tex]f[/tex] risulta un omeomorfismo per definizione.

??? Non capisco. Mi pare errato. Secondo me lo svolgimento corretto è:

Ipotesi: $f: (X, t)\to(Y, s)$ è una applicazione bigettiva continua e aperta.
Tesi: $f$ è un omeomorfismo.

Dimostrazione: Per ipotesi ($f$ è continua e aperta) le controimmagini degli aperti di $Y$ e le immagini degli aperti di $X$ sono aperti in $X$ e $Y$ rispettivamente:

$\forall V\subsetY$ aperto, $f^{-1}(V)$ è aperto in $X$;
$\forall U\subsetX$ aperto, $f(U)$ è aperto in $Y$.

Inoltre $f$ è bigettiva quindi invertibile, sia $g$ la funzione inversa.Osserviamo che le controimmagini dell'applicazione inversa $g$ coincidono con le immagini dell'applicazione $f$ nel senso che $\forall A\subsetX$, $g^{-1}(A)=f(A)$. In particolare, se $A$ è aperto in $X$, $g^{-1}(A)$ è aperto in $Y$, ovvero $g$ è continua. Quindi $f$ è un omeomorfismo.

[EDIT]Mi accorgo solo adesso che bisogna dimostrare anche il viceversa. Il procedimento è completamente analogo e si basa sempre sulla stessa osservazione: detta $g$ la funzione inversa di $f$, le controimmagini mediante $g$ sono le immagini mediante $f$.

[j18eos]

Essendo [tex]f^{-1}[/tex] un'applicazione, l'immagine mediante essa di ogni aperto dello spazio topologico codominio per [tex]f[/tex] è un aperto dello spazio topologico dominio per [tex]f[/tex] sicché [tex]f^{-1}[/tex] è un'applicazione aperta.
Supposta [tex]f[/tex] aperta, [tex](f^{-1})^{-1}=f[/tex] le antiimmagini mediante [tex]f^{-1}[/tex] di ogni aperto dello spazio topologico codominio per [tex]f^{-1}[/tex] è un aperto dello spazio topologico dominio per [tex]f^{-1}[/tex] quindi [tex]f^{-1}[/tex] è un'applicazione continua.