Definizione di uno spazio vettoriale

[multim]

Salve a tutti, ho fatto questo esercizio e vorrei chiedere conferma sulla soluzione:

Si consideri l'insieme $ Q = RR ^ 2 $ con le operazioni di somma e prodotto definite come seguono

$ ((x_1),(x_2)) + ((y_1),(y_2)) = ((x_1 + y_1),(x_2 + y_2)) $ e $ \alpha((x_1),(x_2)) = ((\alpha x_1),(0))

qualunque siano $((x_1),(x_2)),((y_1),(y_2))$ ed $\alpha in RR$. Si mostri che $Q$ soddisfa tutti gli assiomi che definiscono uno spazio vettoriale reale, ad eccezione di uno (quale?); quindi $Q$ non è un sottospazio.

Ora, io ho pensato che il prodotto definito in quel modo è un applicazione così fatta: $RR^2 -> RR$, e di conseguenza il vettore $\alpha v = w in RR $ e non a $RR^2$, quindi non è uno spazio vettoriale. E' esatto?

[paola90-votailprof]

Non so se c'è un modo immediato per farlo, ma credo che verificare tutte e otto le proprieà degli spazi vettoriali non sia un pessimo esercizio!
L'unica proprietà che non viene verificata è l'ultima, $1*((x_1),( x_2))!= ((x_1 ),(x_2))$ infatti, per come hai definito tu il prodotto, è uguale a $((x_1),(0))$.

[multim]

Grazie mille! rileggendo la mia deduzione era errata perchè comunque un vettore $v = ((\alpha x_1),(0)) in RR^2 $ giusto?

[homeinside-votailprof]

"multim":Grazie mille! rileggendo la mia deduzione era errata perchè comunque un vettore $v = ((\alpha x_1),(0)) in RR^2 $ giusto?

essendo $ a|| ( x' ),( x'' ) ||=|| ( a ),( 0 ) ||$ l'insieme non è chiuso rispetto all'operazione di prodotto esterno. Chiedo, ma ammettendo che sia un sottospazio i suoi generatori sono l.i.?
una sua combianazione linare nulla non sarebbe con almeno una componente diversa da zero?