Definizione di un'applicazione lineare tramite Ker
Salve, vi chiedo un piccolissimo aiuto per iniziare questo esercizio di Algebra Lineare
Sia $f :RR^3->RR^3$ defininita mediante le relazioni:
$f(1; 1; 2) = (1; 2; 1)$;
$f(0; 2; 1) = (1; 4; 1)$;
con $Kerf = L((1; 0; 1))$.
Studiare f determinando le equazioni che caratterizzano Imf, Kerf, calcolare se esistono $f^-1 (1; 1;1)$ e $f^-1 (1; 1; 1).
Potete suggerirmi come dovrei fare per trovare la matrice associata con le informazioni che il testo dà? Il resto poi credo di saperlo fare, è simile a molti altri esercizi che ho svolto oppure già risolti qui su questo forum...
Sia $f :RR^3->RR^3$ defininita mediante le relazioni:
$f(1; 1; 2) = (1; 2; 1)$;
$f(0; 2; 1) = (1; 4; 1)$;
con $Kerf = L((1; 0; 1))$.
Studiare f determinando le equazioni che caratterizzano Imf, Kerf, calcolare se esistono $f^-1 (1; 1;1)$ e $f^-1 (1; 1; 1).
Potete suggerirmi come dovrei fare per trovare la matrice associata con le informazioni che il testo dà? Il resto poi credo di saperlo fare, è simile a molti altri esercizi che ho svolto oppure già risolti qui su questo forum...
Risposte
"Genryuusai":
Sia $f :RR^3->RR^3$ defininita mediante le relazioni:
$f(1; 1; 2) = (1; 2; 1)$;
$f(0; 2; 1) = (1; 4; 1)$;
con $Kerf = L((1; 0; 1))$.
Studiare f determinando le equazioni che caratterizzano Imf, Kerf.
Semplice:
l'immagine è generata dai vettori
$((1),(2),(1))$ e $((1),(4),(1))$
e ha equazione cartesiana
$x-z=0$ (senza fare calcoli: basta osservare che la $x$ e la $y$ sono uguali per entrambi i vettori...)
Per il ker sai che è generato dal vettore $((1),(0),(1))$, quindi
un'equazione cartesiana può essere la seguente:
${(x-z=0),(y=0):}$
"Genryuusai":
Sia $f :RR^3->RR^3$ defininita mediante le relazioni:
$f(1; 1; 2) = (1; 2; 1)$;
$f(0; 2; 1) = (1; 4; 1)$;
con $Kerf = L((1; 0; 1))$.
Studiare f determinando le equazioni che caratterizzano Imf, Kerf.
Se vuoi la matrice che rappresenta l'endomorfismo rispetto alla base canonica basta effettuare
questa semplice moltiplicazione tra matrici:
$((1,1,0),(2,4,0),(1,1,0)) ((1,0,1),(1,2,0),(2,1,1))^(-1) = ((-1, 0, 1), (0, 2, 0), (-1, 0, 1))$ .
Puoi controllare facilmente che funziona.
"franced":
Se vuoi la matrice che rappresenta l'endomorfismo rispetto alla base canonica basta effettuare
questa semplice moltiplicazione tra matrici:
$((1,1,0),(2,4,0),(1,1,0)) ((1,0,1),(1,2,0),(2,1,1))^(-1) = ((-1, 0, 1), (0, 2, 0), (-1, 0, 1))$ .
Puoi controllare facilmente che funziona.
Per determinare la controimmagine del vettore $((1),(1),(1))$ è sufficiente risolvere il sistema lineare
${(-x+z=1),(),(2y=1),(),(-x+z=1):}$
ottenendo il sottospazio affine
$((x),(y),(z)) = ((0),(),(),(),(1/2),(),(),(),(1)) + \lambda ((1),(),(),(0),(),(),(1))$
Grazie mille, mi hai spiegato davvero tutto. Non ho molta dimestichezza con le matrici passaggio di base ma così ad intuito direi che dietro quella semplice moltiplicazione fra matrici ( che ho controllato ed è corretta) ci sta tutta quella teoria, no?
"Genryuusai":
Grazie mille, mi hai spiegato davvero tutto. Non ho molta dimestichezza con le matrici passaggio di base ma così ad intuito direi che dietro quella semplice moltiplicazione fra matrici ( che ho controllato ed è corretta) ci sta tutta quella teoria, no?
Non posso farti qui tutta la teoria..
Che il calcolo è corretto puoi verificarlo tu stesso!
L'idea è quella di prendere i vettori della base canonica, calcolare le loro coordinate rispetto alla base scelta e vedere
le immagini. Tutto qui..
le immagini. Tutto qui..
@"Genryuusai" la risoluzione dell'esercizio fatta da "fraced" è chiarissima.....ora prova da te a svolgere esercizi analoghi in modo da prendere maggior padronanza con l'argomento..... 
"Alexp":
@"Genryuusai" la risoluzione dell'esercizio fatta da "fraced" è chiarissima.....
Grazie!
"franced":
Per determinare la controimmagine del vettore $((1),(1),(1))$ è sufficiente risolvere il sistema lineare
${(-x+z=1),(),(2y=1),(),(-x+z=1):}$
ottenendo il sottospazio affine
$((x),(y),(z)) = ((0),(),(),(),(1/2),(),(),(),(1)) + \lambda ((1),(),(),(0),(),(),(1))$
Voglio far notare come dietro a questa soluzione ci sia il Teorema di Struttura.
Infatti, il vettore $((0),(),(),(),(1/2),(),(),(),(1))$ è una soluzione particolare del sistema,
mentre le soluzioni del sistema omogeneo associato sono del tipo $\lambda ((1),(),(),(0),(),(),(1))$ .
Ok, grazie franced ! ho molte lacune di teoria e mi sono esercitato solo su esercizi di un determinato tipo, e quindi quando incontro qualcosa di diverso, come è accaduto in questo esercizio, non riesco a iniziare perchè non so come muovermi.... Vedrò di esercitarmi molto di più come mi ha consigliato alexp
"Genryuusai":
Ok, grazie franced !
Prego! Buon studio!!
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