Definizione di superficie

[Galager]

Una parametrizzazione di una superficie è definita essere un'applicazione sufficientemente regolare (ad esempio $C^\infty$) e tale che il differenziale sia iniettivo in ogni punto o, equivalentemente se lo Jacobiano associato al differenziale ha rango 2.
Qual è il motivo di tale definizione? Mi pare ricordare che un'applicazione lineare è iniettiva se e solo se ha nucleo banale e questo spiegherebbe l'equivalenza delle condizioni, ma perché occorre pensarla così?

[anto_zoolander]

[highlight][/highlight]Se $varphi$ è la funzione che parametrizza $M$, dire che il differenziale è iniettivo significa dire che

Considera i vettori $varphi_u=(partialvarphi) /(partialu)$ e $varphi_v=(partialvarphi) /(partialv)$

1) $varphi_u$ e $varphi_v$ sono indipendenti
2) $varphi_u times varphi_v ne vec(0)$

Quindi significa che i vettori tangenti sono indipendenti ed esiste il vettore normale.

Se in un qualche punto il differenziale non è iniettivo vengono a cessare entrambe le due condizioni

[Galager]

aah ho capito grazie. quindi se viene a mancare questa condizione in un punto, lì la superficie "degenera in una curva" giusto?

[gugo82]

"Galager":aah ho capito grazie. quindi se viene a mancare questa condizione in un punto, lì la superficie "degenera in una curva" giusto?

No.
Prendi $phi(u,v):=(u^2, v^2, u^2 + v^2)$ in $(0,0)$... La superficie è un piano, quindi in quale curva vuoi che degeneri?

[Galager]

mm e allora che problemi darebbe utilizzare questa parametrizzazione nell'origine? forse la condizione sul differenziale serve solo a poter operare analiticamente e non c'è una motivazione geometrica, o si?

[gugo82]

La condizione ti assicura che lo spazio tangente alla superficie ha dimensione $2$ e che una sua base è data dai due vettori delle derivate parziali.

[Galager]

ho capito grazie