Definizione di sottospazio vettoriale

[Plepp]

Salve amici

Ho un "dubbio" sulla definizione di sottospazio vettoriale. La definizione che ho sul quaderno di appunti è la seguente.

Definizione. Sia $(V,+,\cdot)$ un $\mathbb{K}$-spazio vettoriale ($\mathbb{K}$ campo) e sia $W\subseteq V$. Si dice che $W$ è un sottospazio vettoriale di $V$ (su $\mathbb{K}$) se:

[*:1n243gsm] $W$ è sottogruppo (abeliano) di $(V,+)$ - quindi se:
• $W$ è chiuso rispetto a $+_V$;
• $0_V\in W$, quindi $W$ è non vuoto;
• $\forall w\in W$, $-w\in V$.[/*:m:1n243gsm]
[*:1n243gsm] $W$ è chiuso rispetto $\cdot_V$, ovvero se $\forall \alpha \in \mathbb{K}$ e $\forall w\in W$, $\alpha\cdot w\in W$.[/*:m:1n243gsm][/list:u:1n243gsm]

Il dubbio è questo: a me pare che sia "eccessivo" chiedere che $W$ sia sottogruppo di $(V,+)$; infatti basta che $W$ sia chiuso rispetto a $+_V$ e $\cdot_V$ per avere la condizione suddetta.

Si può facilmente dimostrare che $\forall v\in V$ si ha
\[(-1_\mathbb{K})\cdot v=-v\in V\]
Ora, se $W$ è chiuso rispetto ad entrambe le operazioni, in base alla precedente osservazione, per ogni $w\in W$ esiste l'opposto $-w\in W$. Presi quindi due vettori $w_1,\w_2\in W$, che supponiamo non vuoto, si ha che $(w_1-w_2)\in W$, e in base alla caratterizzazione dei sottogruppi, si ha che $W$ è sottogruppo di $V$.

Insomma, mi pare che basti chiedere che $W$ sia non vuoto per sostituire la richiesta "$W$ sottogruppo di $(V,+)$" con la più semplice "$W$ chiuso rispetto a $+_V$".

Che ne pensate?

[Seneca1]

"Plepp":

[*:1x2pa4qu] $W$ è sottogruppo (abeliano) di $(V,+)$ - quindi se:
• $W$ è chiuso rispetto a $+_V$;
• $0_V\in W$, quindi $W$ è non vuoto;
• $\forall w\in W$, $-w\in V$. ( <- errore )[/*:m:1x2pa4qu][/list:u:1x2pa4qu]

In pratica elenca per esteso le condizioni che bisogna verificare affinché $W$ sia un sottogruppo di $(V,+)$ (e ti faccio notare che la seconda legge di composizione, il prodotto per uno scalare, non entra in ballo con il fatto che $W$ debba essere un sottogruppo).

[Plepp]

(Ciao Seneca...)

Io trovo che sia di più facile verifica la chiusura rispetto alla somma (talvolta può essere seccante dimostrare che tizio è sottogruppo di caio). E poi, in effetti, chiedendo che $W$ sia sottogruppo di $(V,+)$ si chiede qualcosa di "superfluo" (nel senso che si può fare anche a meno di chiederla), ovvero che di ogni elemento esista l'opposto in $W$.

Non sei d'accordo?

EDIT: in che senso

• $\forall w\in W$, $-w\in W$ <- errore

?

EDIT$_2$: oops scusa ora ho notato $V$ al posto di $W$.

[Kashaman]

"Plepp":(Ciao Seneca...)

Io trovo che sia di più facile verifica la chiusura rispetto alla somma (talvolta può essere seccante dimostrare che tizio è sottogruppo di caio).

Perché? Esiste l'apposita caratterizzazione. Basta che verifichi che
$AA w,w' in W => w+(-w')=w-w' in W$. Cosa ha di più o di meno nel verificare che $AA w, w' in W : w+w' in W$? (1) Come giustificheresti il fatto che da (1) $W$ è un sottogruppo?

E poi, in effetti, chiedendo che $W$ sia sottogruppo di $(V,+)$ si chiede qualcosa di "superfluo" (nel senso che si può fare anche a meno di chiederla), ovvero che di ogni elemento esista l'opposto in $W$.

Non sei d'accordo?

Sinceramente non ho capito perché dev'essere superfluo.
Ti porto un controesempio per mostrarti che in generale , la chiusura non implica niente necessariamente.
Prendi $A={2k|k in ZZ}$. Tale insieme è chiuso rispetto alla moltiplicazione, ma non è un gruppo. Perché?

EDIT: in che senso
• $\forall w\in W$, $-w\in W$ <- errore

Avevi scritto $V$ al posto di $W$, il che comunque sarebbe ovvio.
Perché se $Wsube V$, e $w in W (sube V)$ è ovvio che $-w in V$ , perché $(V,+)$ è un gruppo.


Comunque, ti ricordo che per verificare che un certo $W$ è un sottospazio, lo puoi fare in due modi.
Il primo . (che è la traduzione di definizione di sottospazio , alla fin dei conti)
Verifichi che 1) $AA w,w' in W => w-w' in W$ (che è la caratterizzazione dei sottogruppi)
2) $AA w in W , AA \alpha in \mathbb{K} => \alpha w in W$ (chiusura del prodotto di vettore per scalare)
Il secondo, si dimostra essere equivalente al primo, e prende il nome di caratterizzazione dei sottospazi :
$W$ sottospazio di $V$ $<=> AA w, w' in W , AA \alpha, \beta in \mathbb{K} => \alphaw+\betaw' in W$

ciao pe!

[Plepp]

"Kashaman":

E poi, in effetti, chiedendo che $W$ sia sottogruppo di $(V,+)$ si chiede qualcosa di "superfluo" (nel senso che si può fare anche a meno di chiederla), ovvero che di ogni elemento esista l'opposto in $W$.

Non sei d'accordo?

Sinceramente non ho capito perché dev'essere superfluo.

Mettiamola così. Prendiamo in considerazione un $\mathbb{K}$-spazio vettoriale $V$ e $W\subseteq V$. Scrivere

$W$ è tale che
• $W$ è chiuso rispetto a $+_V$;
• $0_V\in V$;
• $\forall W\in W$, $-w\in W$;
(queste prime tre proprietà fanno di $W$ un sottogruppo di $(V,+)$)
• $W$ è chiuso rispetto alla legge di composizione esterna $\cdot_V$

è la "stessa cosa" che scrivere

$W\ne \emptyset$ è tale che
• $W$ è chiuso rispetto a $+_V$;
• $W$ è chiuso rispetto alla legge di composizione esterna $\cdot_V$

??? Io direi proprio di sì. Se suppongo $W\ne \emptyset$ e dico che $W$ è chiuso rispetto a $\cdot$, è inutile dire che ogni elemento di $W$ ammette opposto in $W$, in base all'osservazione fatta nel primo post.

Alla fine, comunque, è anche questione di gusti, ché le definizioni sono equivalenti...

"Kashaman":
Ti porto un controesempio per mostrarti che in generale , la chiusura non implica niente necessariamente.
Prendi $A={2k|k in ZZ}$. Tale insieme è chiuso rispetto alla moltiplicazione, ma non è un gruppo. Perché?

Ché $\cdot_A$ non ha elemento neutro...ma questo non c'entra nulla col discorso che sto facendo E' chiaro che la chiusura non implica un tubo, da sola.

Ciao Fra!

[OT]
@Fra: Già che ci siamo Dopo la caratterizzazione dei sottospazi, c'è un esempio (il sottospazio $K[x]_{\leq n}$), poi un'Osservazione, e infine una Proposizione:

Sia $V$ spazio vettoriale su $\mathbf{K}$. Se $U$ e $W$ sono sottospazi di $V$, allora:
i) $U\cap W$ è sottospazio di $V$ (fin qua tutto ok...);
ii) $U\cap W\subseteq U$, $U\cap W\subseteq W$

embè? ho copiato male? (voglio dire, il punto (ii) è conseguenza della definizione di $A\cap B$, con $A,B$ insiemi qualsiasi. Che c'entra con gli spazi vettoriali?)

[/OT]

[Kashaman]

Per le questioni riportate ci devo riflettere un poco sull'equivalenza, proveresti a dimostrarlo?
per l'OT ti rispondo ora.
Allora la prof ha dato questa proposizione.

Prop : Sia $V$ spazio vettoriale su $K$. $U,W$ sottospazi.
Le due proposizioni sono equivalenti :
$UnnW$ è un sottospazio di $V$ $<=> UnnW$ lo è sia di $U$ che di $W$.

Non è una relazione insiemistica, ma strutturale. Ti dice in buona sostanza che dall'essere $UnnW$ sottospazio di $V$, essendo $W,U$ sottospazi di $V$ e dall'inclusione insiemistica $UnnWsubeW$ e $UnnW sube U$ ne segue che $UnnW$ è un sottospazio sia di $W$ che di $U$. e viceversa.
L'inclusione è ovvia e la si deduce dalla teoria degli insiemi, ciò che va mostrato è che $UnnW$ è una sottostruttura di $U$ e $W$ oltre che a essere una sottostruttura di $V$. (è comunque abbastanza ovvia come cosa... ma non devi intendere $sube$ come mera inclusione insiemistica).

[Plepp]

"Kashaman":Per le questioni riportate ci devo riflettere un poco sull'equivalenza, proveresti a dimostrarlo?

Già fatto...allora nn ci eravamo capiti eh Proviamo che
\[(\text{Definizione della Prof})\iff (\text{Nuova definizione})\]
Cominciamo con $(\Rightarrow)$. Non c'è nulla da provare Per ipotesi $W$ è un sottogruppo di $(V,+)$, quindi è non vuoto e chiuso rispetto a $+_V$; la chiusura rispetto al prodotto esterno ce l'abbiamo in entrambe le definizioni.

Continuiamo con $(\Leftarrow)$, provando innanzitutto che per ogni $v$ elemento di $V$, $(-1_\mathbb{K})v=-v$. Si ha
\[(-1_\mathbb{K})v+v=(-1_\mathbb{K})v+1_\mathbb{K}v=(-1_\mathbb{K}+1_\mathbb{K})v=0_\mathbb{K}v=0_V\]
($+_V$ è commutativa, perciò la dimostrazione di questo fatto finisce qua); risparmiami di dimostrare che $0_\mathbb{K}v=0_V$, ti prego
Torniamo a noi. Per ipotesi $W$ è chiuso rispetto al prodotto esterno, quindi $-w\in W$ in base a quanto appena provato. Per ipotesi $W$ è chiuso rispetto alla somma, per cui dati due vettori $w,w'\in W$ si ha che $w+(-w')\in W$, ossia $W$ è sottogruppo di $(V,+)$ (tra le ipotesi c'è anche $W\ne \emptyset$). Come già detto, la chiusura rispetto a $\cdot_V$ c'è in entrambe le definizioni. Q.E.D.

"Kash":
Prop : Sia $V$ spazio vettoriale su $K$. $U,W$ sottospazi.
Le due proposizioni sono equivalenti :
$UnnW$ è un sottospazio di $V$ $<=> UnnW$ lo è sia di $U$ che di $W$.

Non è una relazione insiemistica, ma strutturale. Ti dice in buona sostanza che dall'essere $UnnW$ sottospazio di $V$, essendo $W,U$ sottospazi di $V$ e dall'inclusione insiemistica $UnnWsubeW$ e $UnnW sube U$ ne segue che $UnnW$ è un sottospazio sia di $W$ che di $U$. e viceversa.
L'inclusione è ovvia e la si deduce dalla teoria degli insiemi, ciò che va mostrato è che $UnnW$ è una sottostruttura di $U$ e $W$ oltre che a essere una sottostruttura di $V$. (è comunque abbastanza ovvia come cosa... ma non devi intendere $sube$ come mera inclusione insiemistica).

Non aveva specificato che $\subseteq$ lo usassimo anche per dire "$A$ è sottospazio di $B$" Vabè...così come dici ha più senso però.
La doppia implicazione sinceramente non me la ricordo, e così, a freddo, non ci metterei manco la mano sul fuoco che sia vera. Sicuro che ci fosse il $\iff$?
EDIT: bugia, ho detto una cagata, certo che ci sta

Grazie Kash

[Kashaman]

"Plepp":[quote="Kashaman"]Per le questioni riportate ci devo riflettere un poco sull'equivalenza, proveresti a dimostrarlo?

Già fatto...allora nn ci eravamo capiti eh Proviamo che
\[(\text{Definizione della Prof})\iff (\text{Nuova definizione})\]
Cominciamo con $(\Rightarrow)$. Non c'è nulla da provare Per ipotesi $W$ è un sottogruppo di $(V,+)$, quindi è non vuoto e chiuso rispetto a $+_V$; la chiusura rispetto al prodotto esterno ce l'abbiamo in entrambe le definizioni.

Continuiamo con $(\Leftarrow)$, provando innanzitutto che per ogni $v$ elemento di $V$, $(-1_\mathbb{K})v=-v$. Si ha
\[(-1_\mathbb{K})v+v=(-1_\mathbb{K})v+1_\mathbb{K}v=(-1_\mathbb{K}+1_\mathbb{K})v=0_\mathbb{K}v=0_V\]
($+_V$ è commutativa, perciò la dimostrazione di questo fatto finisce qua).
Torniamo a noi. Per ipotesi $W$ è chiuso rispetto al prodotto esterno, quindi $-w\in W$ in base a quanto appena provato. Per ipotesi $W$ è chiuso rispetto alla somma, per cui dati due vettori $w,w'\in W$ si ha che $w+(-w')\in W$, ossia $W$ è sottogruppo di $(V,+)$ (tra le ipotesi c'è anche $W\ne \emptyset$). Come già detto, la chiusura rispetto a $\cdot_V$ c'è in entrambe le definizioni. Q.E.D.

"Kash":
Prop : Sia $V$ spazio vettoriale su $K$. $U,W$ sottospazi.
Le due proposizioni sono equivalenti :
$UnnW$ è un sottospazio di $V$ $<=> UnnW$ lo è sia di $U$ che di $W$.

Non è una relazione insiemistica, ma strutturale. Ti dice in buona sostanza che dall'essere $UnnW$ sottospazio di $V$, essendo $W,U$ sottospazi di $V$ e dall'inclusione insiemistica $UnnWsubeW$ e $UnnW sube U$ ne segue che $UnnW$ è un sottospazio sia di $W$ che di $U$. e viceversa.
L'inclusione è ovvia e la si deduce dalla teoria degli insiemi, ciò che va mostrato è che $UnnW$ è una sottostruttura di $U$ e $W$ oltre che a essere una sottostruttura di $V$. (è comunque abbastanza ovvia come cosa... ma non devi intendere $sube$ come mera inclusione insiemistica).

Non aveva specificato che $\subseteq$ lo usassimo anche per dire "$A$ è sottospazio di $B$" Vabè...così come dici ha più senso però.
La doppia implicazione sinceramente non me la ricordo, e così, a freddo, non ci metterei manco la mano sul fuoco che sia vera. Sicuro che ci fosse il $\iff$?
EDIT: bugia, ho detto una cagata, certo che ci sta

Grazie Kash [/quote]
Mi hai convinto, ha senso. Sì è vero che basta la chiusura di prodotto per scalare e somma . Tuttavia, più che nuova definizione, la chiamerei prima caratterizzazione, ma ha poca importanza. Da ciò che hai dimostrato, si arriva poi a mostrare l'altra che abbiamo già caratterizzato.
Infatti si può mostrare che è equivalente :
1) $W$ sottospazio. (definizione)
2) $W$ chiuso rispetto a $+,*$ (tua caratterizzazione)
3) $AA w, w' in W, AA \alpha, \beta in K => \alphaw+\betaw' in W$. (caratterizzazione che ci ha fornito)

infatti $1=>2$ , $2=>3$ e $3=>1$ . Quindi sono tutte e tre equivalenti.

Che poi alla finalità pratica, la 3) è la più breve. La prof in poche parole ha mostrato l'equivalenza tra 1 e 3 .

Si la doppia equivalenza c'è, ed è abbastanza ovvia
ciao pe