Definizione di punto aderente ad un sottoinsieme di $\mathbb R$ rispetto ad una base della topologia subordinata
Salve, nell'ambito del capitolo su spazi metrici e topologici di "Analisi Matematica" di G. Prodi, sto cercando di formulare la definizione di punto aderente (e punto interno) ad un sottoinsieme di $\mathbb R$, rispetto ad una base della sua topologia subordinata, e magari di estenderla al caso degli spazi metrici.
Siano allora $C \subset T \subset \mathbb{R}$, $x in E = \mathbb{R}$. Sia $\mathcal{I}_{x}^{\mbox{*}} = {[x-\epsilon, x+\epsilon]:\epsilon \in \mathbb{R}_{\gt 0}\}$[nota]La definizione di intorno data nel testo è "insieme contenente una palla chiusa di centro x"[/nota] un sistema fondamentale di intorni di $x$, rispetto alla topologia di $E$, per ogni elemento dello spazio; la topologia subordinata su $T$ può essere ricavata dalla famiglia $\mathcal{T}_{x}^{\mbox{*}} = {V \cap T : V \in \mathcal{I}_{x}^{\mbox{*}}}$ definita per elementi di $T$, un cui elemento altro non è che l'intersezione di un qualche $[x-\epsilon, x+\epsilon]$ con $T$.
[ot]La suddetta è infatti una base per $T$: preso $U = A_1 \cap T \in \mathcal{T}_{x}$, dove $\mathcal{T}_{x}$ è la topologia subordinata da $E$, esiste un $A_2 \in \mathcal{I}_{x}^{\mbox{*}$, $A_2 \subset A_1$ ($\mathcal{I}_{x}^{\mbox{*}}$ è una base per $E$) tale che $A_2 \cap T \in \mathcal{T}_{x}^{\mbox{*}}$, con $A_2 \cap T \subset U$.[/ot]
Allora, se $x in T$ è aderente $C$, ogni intorno della base subordinata $\mathcal{T}_{x}^{\mbox{*}}$ interseca $C$, ergo posso concludere che la def. di punto aderente è equivalente al dire che ogni intorno della base $[x-\epsilon, x+\epsilon] \cap T$ interseca $C$. Alt! Ciò mi dice che, se $x$ è aderente a $C$ rispetto alla topologia subordinata, allora è aderente rispetto alla topologia di $E$, che è un fatto valido indipendentemente dal caso $E= \mathbb{R}$.
Per quanto riguarda la def. di punto interno, $x$ è interno a $C$ rispetto alla topologia subordinata se e solo se esiste almeno un intorno della base $\mathbb{T}_{x}^{\mbox{*}}$ contenuto in $C$. Nel nostro caso, $x$ è interno a $C$ se quindi possiamo trovare un intorno $[x-\epsilon, x+\epsilon] \subset \mathcal{I}_{x}^{\mbox{*}}$ tale che la sua intersezione con $T$ sia contenuta in $C$; analogamente alla chiusura, anche l'insieme dei punti interni rispetto alla topologia subordinata è contenuto nell'insieme dei punti aperti rispetto alla topologia di $\mathbb R$. In accordo con il caso generale.
Nel caso in cui $E$ fosse uno spazio metrico, basterebbe semplicemente sostituire l'intorno $[x-\epsilon, x+\epsilon]$ con una palla $B(x, \rho)$.
Credo che quanto scritto sia giusto, non sono però sicuro di non essermi "incasinato" in qualche punto. Può andare?
Siano allora $C \subset T \subset \mathbb{R}$, $x in E = \mathbb{R}$. Sia $\mathcal{I}_{x}^{\mbox{*}} = {[x-\epsilon, x+\epsilon]:\epsilon \in \mathbb{R}_{\gt 0}\}$[nota]La definizione di intorno data nel testo è "insieme contenente una palla chiusa di centro x"[/nota] un sistema fondamentale di intorni di $x$, rispetto alla topologia di $E$, per ogni elemento dello spazio; la topologia subordinata su $T$ può essere ricavata dalla famiglia $\mathcal{T}_{x}^{\mbox{*}} = {V \cap T : V \in \mathcal{I}_{x}^{\mbox{*}}}$ definita per elementi di $T$, un cui elemento altro non è che l'intersezione di un qualche $[x-\epsilon, x+\epsilon]$ con $T$.
[ot]La suddetta è infatti una base per $T$: preso $U = A_1 \cap T \in \mathcal{T}_{x}$, dove $\mathcal{T}_{x}$ è la topologia subordinata da $E$, esiste un $A_2 \in \mathcal{I}_{x}^{\mbox{*}$, $A_2 \subset A_1$ ($\mathcal{I}_{x}^{\mbox{*}}$ è una base per $E$) tale che $A_2 \cap T \in \mathcal{T}_{x}^{\mbox{*}}$, con $A_2 \cap T \subset U$.[/ot]
Allora, se $x in T$ è aderente $C$, ogni intorno della base subordinata $\mathcal{T}_{x}^{\mbox{*}}$ interseca $C$, ergo posso concludere che la def. di punto aderente è equivalente al dire che ogni intorno della base $[x-\epsilon, x+\epsilon] \cap T$ interseca $C$. Alt! Ciò mi dice che, se $x$ è aderente a $C$ rispetto alla topologia subordinata, allora è aderente rispetto alla topologia di $E$, che è un fatto valido indipendentemente dal caso $E= \mathbb{R}$.
Per quanto riguarda la def. di punto interno, $x$ è interno a $C$ rispetto alla topologia subordinata se e solo se esiste almeno un intorno della base $\mathbb{T}_{x}^{\mbox{*}}$ contenuto in $C$. Nel nostro caso, $x$ è interno a $C$ se quindi possiamo trovare un intorno $[x-\epsilon, x+\epsilon] \subset \mathcal{I}_{x}^{\mbox{*}}$ tale che la sua intersezione con $T$ sia contenuta in $C$; analogamente alla chiusura, anche l'insieme dei punti interni rispetto alla topologia subordinata è contenuto nell'insieme dei punti aperti rispetto alla topologia di $\mathbb R$. In accordo con il caso generale.
Nel caso in cui $E$ fosse uno spazio metrico, basterebbe semplicemente sostituire l'intorno $[x-\epsilon, x+\epsilon]$ con una palla $B(x, \rho)$.
Credo che quanto scritto sia giusto, non sono però sicuro di non essermi "incasinato" in qualche punto. Può andare?
Risposte
"marco2132k":
Salve, nell'ambito del capitolo su spazi metrici e topologici di "Analisi Matematica" di G. Prodi.
Bello il Prodi
Siano allora $C \subset T \subset \mathbb{R}$, $x in E = \mathbb{R}$. Sia $\mathcal{I}_{x}^{\mbox{*}} = {[x-\epsilon, x+\epsilon]:\epsilon \in \mathbb{R}_{\gt 0}\}$[nota]La definizione di intorno data nel testo è "insieme contenente una palla chiusa di centro x"[/nota] un sistema fondamentale di intorni di $x$
Potrebbe esserti utile sapere che di solito non si prendono palle chiuse nella definizione di intorno, nonostante il Prodi lo faccia, ad ogni modo non è un problema grave perché le due definizioni così ottenute sono equivalenti (può essere un esercizio utile per te dimostrarlo).
, rispetto alla topologia di $E$, per ogni elemento dello spazio; la topologia subordinata su $T$ può essere ricavata dalla famiglia $\mathcal{T}_{x}^{\mbox{*}} = {V \cap T : V \in \mathcal{I}_{x}^{\mbox{*}}}$ definita per elementi di $T$, un cui elemento altro non è che l'intersezione di un qualche $[x-\epsilon, x+\epsilon]$ con $T$.
[ot]La suddetta è infatti una base per $T$: preso $U = A_1 \cap T \in \mathcal{T}_{x}$, dove $\mathcal{T}_{x}$ è la topologia subordinata da $E$, esiste un $A_2 \in \mathcal{I}_{x}^{\mbox{*}$, $A_2 \subset A_1$ ($\mathcal{I}_{x}^{\mbox{*}}$ è una base per $E$) tale che $A_2 \cap T \in \mathcal{T}_{x}^{\mbox{*}}$, con $A_2 \cap T \subset U$.[/ot]
La dimostrazione che è una base è quasi giusta, l'unica cosa è che devi fissare $x\inU$ e poi far vedere che riesci a trovare $A\in\mathcal{T}_{x}^{\mbox{*}}$ tale che $x\inA\subeU$, che però è facile perché basta che quando prendi $A_2$ lo prendi tale che $x\inA_2\subeA_1$, poi il resto è uguale.
Allora, se $x in T$ è aderente $C$, ogni intorno della base subordinata $\mathcal{T}_{x}^{\mbox{*}}$ interseca $C$, ergo posso concludere che la def. di punto aderente è equivalente al dire che ogni intorno della base $[x-\epsilon, x+\epsilon] \cap T$ interseca $C$. Alt! Ciò mi dice che, se $x$ è aderente a $C$ rispetto alla topologia subordinata, allora è aderente rispetto alla topologia di $E$, che è un fatto valido indipendentemente dal caso $E= \mathbb{R}$.
Per quanto riguarda la def. di punto interno, $x$ è interno a $C$ rispetto alla topologia subordinata se e solo se esiste almeno un intorno della base $\mathbb{T}_{x}^{\mbox{*}}$ contenuto in $C$. Nel nostro caso, $x$ è interno a $C$ se quindi possiamo trovare un intorno $[x-\epsilon, x+\epsilon] \subset \mathcal{I}_{x}^{\mbox{*}}$ tale che la sua intersezione con $T$ sia contenuta in $C$; analogamente alla chiusura, anche l'insieme dei punti interni rispetto alla topologia subordinata è contenuto nell'insieme dei punti aperti rispetto alla topologia di $\mathbb R$. In accordo con il caso generale.
Nel caso in cui $E$ fosse uno spazio metrico, basterebbe semplicemente sostituire l'intorno $[x-\epsilon, x+\epsilon]$ con una palla $B(x, \rho)$.
Credo che quanto scritto sia giusto, non sono però sicuro di non essermi "incasinato" in qualche punto. Può andare?
Si, è fatto bene.
Grazie innanzitutto per la risposta!
Già!
Ok, quindi una volta considerato, rispetto alla topologia subordinata, un intorno $U$ di $x$ fissato, per definizione $U$ sarà dato dall'intersezione di un intorno $A_1$ di $x$, considerato rispetto alla topologia ordinaria, con $T$; ora, per definizione di base, esisterà qualche $A_2 \in \mathcal{I}_{x}^{\mbox{*}}$ tale che $A_2 \subset A_1$. Che $x$ appartenga ad $A_2$ e quindi ad $A_1$ dipende dal fatto che, appunto, sono entrambi intorni di $x$. Mi sembra corretto, forse era quello che intendevo scrivere.
"otta96":
Bello il Prodi
Già!
"otta96":
La dimostrazione che è una base è quasi giusta, l'unica cosa è che devi fissare $ x\in U $ e poi far vedere che riesci a trovare $ A \in \mathcal{T}_{x}^{\mbox{*}} $ tale che $ x\in A \sube U $, che però è facile perché basta che quando prendi $ A_2 $ lo prendi tale che $ x\in A_2\sube A_1 $, poi il resto è uguale.
Ok, quindi una volta considerato, rispetto alla topologia subordinata, un intorno $U$ di $x$ fissato, per definizione $U$ sarà dato dall'intersezione di un intorno $A_1$ di $x$, considerato rispetto alla topologia ordinaria, con $T$; ora, per definizione di base, esisterà qualche $A_2 \in \mathcal{I}_{x}^{\mbox{*}}$ tale che $A_2 \subset A_1$. Che $x$ appartenga ad $A_2$ e quindi ad $A_1$ dipende dal fatto che, appunto, sono entrambi intorni di $x$. Mi sembra corretto, forse era quello che intendevo scrivere.
Ahhhhh, non mi stavo rendendo conto che te stavi usando solo intorni di $x$, pensavo stessi usando intorni qualsiasi, allora va bene.
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